حل مسألة اختيار لاعبات كرة الطائرة (مسألة رياضيات)

عندما يكون لدينا فريق كرة الطائرة للفتيات في المدرسة مكون من 14 لاعبة، بما في ذلك مجموعة من التوائم “X”، وهناك ثلاثة من التوائم: أليسيا، أماندا، وآنا. نريد معرفة كم هناك من الطرق لاختيار 6 لاعبات أساسيات إذا كانت اثنتان فقط من التوائم تكونان في تشكيلة البداية. نحتاج إلى معرفة قيمة المتغير “X” إذا كان الإجابة على هذا السؤال هي 990.

لحساب عدد الطرق لاختيار 6 لاعبات من بين 14، ونحن نعلم أن التوائم يجب أن تكون اثنتان فقط منهن في التشكيلة الأساسية، يمكننا استخدام مفهوم الاحتمالات والتوزيعات المختلفة.

لنبدأ بحساب عدد الطرق لاختيار 6 لاعبات من الـ 14 بدون التوائم. هذا يساوي:

$C(14,6) = \frac{14!}{6!(14-6)!} = \frac{14!}{6!8!}.$

الآن، لاختيار التوائم الاثنين المطلوبتين، لدينا 3 خيارات لاختيار اللاعبة الثالثة. ولكل ترتيب من التوائم، يمكننا اختيار 3 لاعبات من الـ 11 المتبقين. لذلك، عدد الطرق لاختيار 3 لاعبات من بين 11 يساوي:

$C(11,3) = \frac{11!}{3!(11-3)!} = \frac{11!}{3!8!}.$

إذاً، عدد الطرق لاختيار 6 لاعبات من بين 14 بما في ذلك اثنتين من التوائم يساوي:

$C(14,6) \times C(11,3).$

وهذا الرقم يساوي 990 وفقاً للسؤال.

لحل هذه المعادلة، نستطيع استخدام قيمة الضرب المعروفة:

$990 = \frac{14!}{6!8!} \times \frac{11!}{3!8!}.$

بعد الحسابات والتبسيط، سيكون لدينا:

$990 = \frac{14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \times \frac{11 \times 10 \times 9}{3 \times 2 \times 1}.$

نقوم بإلغاء الأشياء المشتركة في الجزيئين ونبسط الحسابات، وبعد ذلك نحصل على:

$990 = 14 \times 13 \times 11.$

لحساب قيمة “X”، نقوم بقسمة 990 على القيمة التي تمثلها الضربة المذكورة، وهي $14 \times 13 \times 11$. وبالتالي، يكون:

$X = \frac{990}{14 \times 13 \times 11}.$

بعد الحساب، نحصل على $X = 5$. إذاً، قيمة المتغير “X” هي 5.

لحل المسألة بشكل مفصّل، نحن بحاجة إلى استخدام مبادئ الاحتمالات والتوزيعات المختلفة.

1. مبدأ الاحتمالات والتوزيعات الجمعية (Combinatorics):
   هذا المبدأ يساعدنا في حساب عدد الطرق المختلفة لتنظيم أو ترتيب مجموعة معينة من العناصر. في هذه المسألة، نستخدم الصيغة التالية لحساب عدد الترتيبات أو التوزيعات:

   $C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!},$

   حيث أن $n!$ هو عامل الرجوعية (الفاكتوريال) لعدد $n$، و$k$ هو عدد العناصر التي نريد تنظيمها في كل مرة.

2. قوانين الضرب والقسمة:
   نستخدم قوانين الضرب والقسمة لتبسيط العمليات الحسابية وإجراء العمليات الحسابية بشكل دقيق.

الآن، دعنا نقوم بتطبيق هذه القواعد على المسألة:

أولاً، نريد اختيار 6 لاعبات من بين 14 بدون الاعتبار للتوائم. هذا يُحسب باستخدام الصيغة التالية:

$C(14, 6) = \frac{14!}{6!(14-6)!}.$

ثانياً، نحتاج إلى اختيار التوائم الاثنين المطلوبين في التشكيلة الأساسية. لدينا 3 خيارات لاختيار التوائم الثالثة ونستطيع اختيار 3 لاعبات من الـ 11 المتبقين بعد استبعاد التوائم. هذا يُحسب بواسطة:

$C(11, 3) = \frac{11!}{3!(11-3)!}.$

ثالثًا، نضرب النتائج للحصول على عدد الطرق لاختيار 6 لاعبات بين 14 مع التأكيد على أن اثنين منهم هما التوائم المطلوبتان في التشكيلة الأساسية:

$C(14, 6) \times C(11, 3).$

بعد الحسابات والتبسيط، نحصل على القيمة 990 كما هو مذكور في السؤال.

لحساب قيمة المتغير “X”، نستخدم قانون القسمة، حيث نقوم بقسمة 990 على الناتج من الضرب الذي يشمل 14 و 13 و 11. هذا يُمثل عدد الطرق لاختيار 6 لاعبات بين 14 مع الاهتمام بتضمين اثنين من التوائم في التشكيلة الأساسية.

تحت هذه الظروف، نحصل على قيمة المتغير “X” التي تساوي 5، وهي القيمة التي تمثل عدد التوائم.