حل مسألة: اختيار رئيس ونائب (مسألة رياضيات)

عدد الطرق التي يمكن بها اختيار رئيس ونائب رئيس من بين مجموعة من الأفراد (بفرض أن الرئيس والنائب لا يمكن أن يكونوا نفس الشخص) يتم بحساب الطرق الممكنة لاختيار الرئيس والنائب. إذاً، نستخدم مبدأ الضرب في هذه الحالة.

لنفترض أن لدينا مجموعة من X أشخاص. لاختيار رئيس، يمكننا اختيار أحد الأشخاص من بين X بطرق ممكنة. بعد ذلك، وحينما يتم اختيار الرئيس، يتبقى (X-1) أشخاص لاختيار أحد منهم كنائب رئيس.

لذا، إجمالاً، عدد الطرق لاختيار رئيس ونائب رئيس هو ناتج ضرب عدد الطرق لاختيار الرئيس في البداية في عدد الطرق لاختيار النائب بعد ذلك. يتم ذلك بالصيغة:

$\text{عدد الطرق} = X \times (X-1)$

ووفقًا للمعلومات المعطاة في السؤال، يتم تحديد أن هذا العدد يساوي 20. لحل المعادلة والعثور على قيمة المتغير X، نقوم بالقسمة على العدد المعطى:

$X \times (X-1) = 20$

إذاً:

$X^2 – X – 20 = 0$

الآن، يمكن حل هذه المعادلة باستخدام العوامل أو الصيغة السالبية، ونجد أن القيمة الإيجابية تمثل عدد الأشخاص في المجموعة:

$X = 5$

إذاً، إذا كانت المعلومة صحيحة، فإن قيمة المتغير المجهول X هي 5.

لحل هذه المسألة، قمنا باستخدام مبدأ الضرب والتحليل الرياضي للمعادلة المتناهية التي تمثل عدد الطرق لاختيار رئيس ونائب رئيس من بين مجموعة من الأفراد.

في التفاصيل:

1. استخدام مبدأ الضرب:

   • قمنا بفرض أننا لدينا مجموعة من $X$ أشخاص.
   • استخدمنا مبدأ الضرب لحساب عدد الطرق لاختيار رئيس ونائب رئيس، حيث يمكن اختيار الرئيس أولاً بـ $X$ طريقة ممكنة، وبعد ذلك يمكن اختيار النائب من بين الأشخاص المتبقين بعد اختيار الرئيس بـ $(X-1)$ طريقة.

2. تشكيل المعادلة:

   • وضعنا المعلومات المعطاة في صيغة رياضية، حيث قمنا بكتابة معادلة للعدد الكلي للطرق باستخدام الضرب، والتي هي $X \times (X-1)$.

3. حل المعادلة:

   • قمنا بتعيين هذا العدد إلى القيمة المعطاة في السؤال وهي 20، مما أدى إلى معادلة: $X \times (X-1) = 20$.

   • بعد ذلك، حولنا هذه المعادلة إلى معادلة تربيعية قياسية ($X^2 – X – 20 = 0$).

   • حللنا المعادلة باستخدام العوامل أو الصيغة السالبية ووجدنا أن القيمة الموجبة المناسبة هي $X = 5$.

4. التحقق:

   • قمنا بالتحقق من الحل عن طريق استبدال قيمة $X$ في المعادلة الأصلية ($X \times (X-1) = 20$) وتأكيد أنها تعطي نفس النتيجة.

باستخدام هذه الخطوات، تمكنا من التوصل إلى قيمة المتغير المجهول $X$ وهي 5.