حل مسألة اختيار رئيس ونائب رئيس في النادي (مسألة رياضيات)

عدد الفتيات = 10
نفترض أن عدد الفتيات هو $X$.

إذاً، عدد الأعضاء الإجمالي في النادي هو 20، منهم 10 فتيان و $X$ فتيات.

عدد الطرق لاختيار رئيس ونائب رئيس للنادي إذا كانوا من نفس الجنس يحسب بالتالي:

• إذا كانوا فتيان، فعدد الطرق لاختيار رئيس ونائب رئيس يساوي عدد الطرق لاختيار رئيس من بين 10 فتيان مضروباً في عدد الطرق لاختيار نائب رئيس من بين 9 فتيان (بعد استبعاد الفتى الذي تم اختياره كرئيس).
• إذا كانوا فتيات، فعدد الطرق لاختيار رئيس ونائب رئيس يساوي عدد الطرق لاختيار رئيسة من بين $X$ فتاة مضروباً في عدد الطرق لاختيار نائب رئيسة من بين $X – 1$ فتاة.

بما أن عدد الطرق لاختيار رئيس ونائب رئيس مستقل عن جنسهم، يمكننا جمع الطرق المحتملة للاختيار من بين الفتيان ومن بين الفتيات.

وبما أن الإجابة المعطاة هي 180، فإننا نحصل على المعادلة التالية:

$10 \times 9 + X \times (X – 1) = 180$

حيث تم ضرب 10 في 9 لأنه يمثل عدد الفتيان واختيار رئيس ونائب رئيس من بينهم، وتم ضرب $X \times (X – 1)$ لأنه يمثل عدد الفتيات واختيار رئيسة ونائب رئيسة من بينهن.

الآن، سنحل المعادلة:
$10 \times 9 + X \times (X – 1) = 180$

$90 + X^2 – X = 180$

$X^2 – X – 90 = 180$

$X^2 – X – 270 = 0$

الآن، سنحل هذه المعادلة من خلال معادلة الجذر التربيعي، أو باستخدام القاعدة التي تسمح لنا بحساب الجذر المربعي.

$X = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث $a = 1$, $b = -1$, $c = -270$.

$X = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 – 4 \times 1 \times (-270)}}{2 \times 1}$

$X = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 1080}}{2}$

$X = \frac{1 \pm \sqrt{1081}}{2}$

وهنا، يمكننا أن نرى أن القيمة الإيجابية من الجذر تناسب السياق، لذا سنختار القيمة الإيجابية:

$X = \frac{1 + \sqrt{1081}}{2}$

إذاً، قيمة $X$ هي:

$X \approx \frac{1 + 32.848}{2} \approx \frac{33.848}{2} \approx 16.924$

وبما أن عدد الفتيات يجب أن يكون عددًا صحيحًا، فإن أقرب قيمة صحيحة هي 17.

إذاً، قيمة $X$ هي 17.

في هذه المسألة، نواجه مشكلة في تحديد عدد الفتيات في النادي، والتي نمثلها بالمتغير $X$. نحن نعلم أن عدد الأعضاء في النادي هو 20، ومن بينهم 10 فتيان، لكننا بحاجة إلى معرفة عدد الفتيات لحل المسألة بشكل كامل.

الخطوة الأولى في الحل هي تحديد العدد المطلوب بحسب الشروط المعطاة في المسألة. نريد اختيار رئيس ونائب رئيس للنادي، والشرط هو أن يكونوا من نفس الجنس.

نستخدم قاعدة حساب الاحتمالات في هذه المسألة. وفقًا لقانون الضرب في الاحتمالات، إذا كانت هناك عدة خيارات يمكن اختيارها مستقلة عن بعضها، فإن العدد الإجمالي للطرق يتم حسابه بضرب عدد الطرق لكل خيار بعد الآخر.

بالنسبة لنا، عندما نختار رئيسًا للنادي، يمكننا اختيار أحد الأعضاء من بين الفتيان أو الفتيات. بعد اختيار رئيس، يمكننا اختيار نائب الرئيس من نفس الجنس بحسب الشرط.

لذا، لاختيار رئيس ونائب رئيس من بين الفتيان، لدينا 10 خيارات للاختيار من بين الفتيان كرئيس، وبما أن لا يمكن لشخص أن يشغل منصبي الرئيس والنائب في نفس الوقت، فإن عدد الخيارات لاختيار نائب الرئيس يصبح 9 (بعد استبعاد الشخص الذي تم اختياره كرئيس).

وبالنسبة للاختيار من بين الفتيات، عدد الفتيات $X$ هو المجهول، لكن بمجرد اختيار رئيسة، يمكن اختيار نائب الرئيس من بين $X – 1$ فتاة.

القانون المستخدم هو قانون الجمع والضرب في الاحتمالات في الحساب، حيث نقوم بجمع النتائج من خيارات مختلفة (فتيان وفتيات) بعد حساب الاحتمالات لكل خيار.

بعد إعداد المعادلة وحلها كما في الشرح السابق، نجد أن قيمة $X$ هي 17، وهي القيمة التي تحقق الشرط المطلوب لعدد الفتيات في النادي.