حل مسألة: اختيار اللجان من مجموعة أعضاء (مسألة رياضيات)

يمكن اختيار لجنة مؤلفة من 4 أشخاص من نادٍ يتألف من 9 أشخاص بعدة طرق مختلفة. لحل هذه المسألة، نستخدم مفهوم الجمعيات، حيث يتم استخدام صيغة الجمعيات لحساب عدد الطرق الممكنة لاختيار الأعضاء.

صيغة الجمعيات تعطينا عدد الطرق الممكنة لاختيار عدد معين من العناصر من مجموعة معينة دون مراعاة ترتيب العناصر المختارة.

لحساب عدد الجمعيات، نستخدم الصيغة التالية:

$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n – k)!}$

حيث:

• $n$ هو عدد العناصر الكلي في المجموعة (عدد الأشخاص في النادي)، وفي هذه الحالة $n = 9$.
• $k$ هو عدد العناصر التي نريد اختيارها لتشكيل اللجنة (عدد الأعضاء في اللجنة)، وفي هذه الحالة $k = 4$.
• $n!$ تعني عامل الضرب لجميع الأعداد الصحيحة من 1 إلى $n$.

الآن، لحساب عدد الطرق الممكنة لاختيار اللجان، نستخدم القيم المعطاة:
$C(9, 4) = \frac{9!}{4!(9 – 4)!}$
$= \frac{9!}{4!5!}$
$= \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1}$
$= \frac{3024}{24}$
$= 126$

لذا، هناك 126 طريقة مختلفة لاختيار لجنة مؤلفة من 4 أشخاص من نادي يتألف من 9 أشخاص.

لحل مسألة اختيار اللجان من مجموعة معينة من الأفراد، نستخدم مجموعة من القوانين والمفاهيم في الجبر والاحتمالات. القوانين والمفاهيم المستخدمة تشمل:

1. صيغة الجمعيات (Combination formula): هي القاعدة الأساسية المستخدمة لحساب عدد الطرق الممكنة لاختيار مجموعة معينة من العناصر من مجموعة أكبر دون مراعاة ترتيب العناصر المختارة.

2. عامل الضرب (Factorial): يستخدم في صيغة الجمعيات، وهو عملية حسابية تقوم بضرب جميع الأعداد الصحيحة الموجودة بين 1 والعدد المعطى.

3. قوانين الاحتمالات (Laws of Probability): تشمل قواعد تعيين الاحتمالات لحوادث مختلفة. في هذه المسألة، نستخدم قاعدة حساب الاحتمالات لتحديد عدد اللجان الممكنة.

الآن، لنلخص الخطوات المستخدمة في حل المسألة:

1. تحديد عدد العناصر الكلي وعدد العناصر المطلوب اختيارها: في هذه المسألة، عدد الأفراد في النادي هو 9، وعدد الأعضاء المطلوب اختيارهم لتشكيل اللجنة هو 4.

2. استخدام صيغة الجمعيات لحساب عدد الطرق الممكنة: نستخدم الصيغة $C(n, k) = \frac{n!}{k!(n – k)!}$ لحساب عدد الطرق الممكنة لاختيار الأعضاء الأربعة من بين التسعة.

3. حساب النتيجة: نقوم بحساب قيمة الجمعية $C(9, 4)$ لمعرفة عدد الطرق الممكنة لاختيار اللجان.

4. الحساب النهائي: بعد حساب القيمة، نجد أن هناك 126 طريقة مختلفة لاختيار لجنة مؤلفة من 4 أشخاص من نادي يتألف من 9 أشخاص.

باستخدام هذه الخطوات والمفاهيم الرياضية، نستطيع حل المسألة وتحديد عدد الطرق الممكنة لاختيار اللجان بشكل دقيق وموثوق به.