حل مسألة اختيار اللاعبات في الفوليبول (مسألة رياضيات)

عدد لاعبات فريق الكرة الطائرة في مدرستنا هو 14 لاعبة، بما في ذلك مجموعة من الثلاثيات: أليسيا، أماندا، وآنا. ونريد معرفة كم طريقة يمكننا من خلالها اختيار 6 لاعبات أساسيات إذا كانت إحدى الثلاثيات الوحيدة موجودة في تشكيلة البداية.

لنحسب عدد الطرق لاختيار 6 لاعبات من بين الـ 14 لاعبة، مع شرط أن تكون إحدى الثلاثيات متواجدة في التشكيلة.

يمكننا تقسيم الحالة إلى اثنتين:

1. اختيار إحدى الثلاثيات واختيار 5 لاعبات من البقية.
2. اختيار 6 لاعبات من البقية دون اختيار أي من الثلاثيات.

لحساب الحالة الأولى، لدينا 3 خيارات لاختيار إحدى الثلاثيات، وبعد ذلك يجب اختيار 5 لاعبات من بقية الـ 11 لاعبة (14 – 3 = 11).

لحساب الحالة الثانية، يجب علينا اختيار 6 لاعبات من بين الـ 11 لاعبة المتبقية بعد استبعاد الثلاثيات.

لحساب العدد الإجمالي للطرق، نقوم بجمع عدد الطرق في الحالتين المذكورتين.

حساب الحالة الأولى:
عدد الطرق لاختيار إحدى الثلاثيات: 3 طرق.
عدد الطرق لاختيار 5 لاعبات من الـ 11 المتبقيات: ${11 \choose 5}$.

إذاً، عدد الطرق في الحالة الأولى هو: $3 \times {11 \choose 5}$.

حساب الحالة الثانية:
عدد الطرق لاختيار 6 لاعبات من الـ 11 المتبقيات: ${11 \choose 6}$.

بالتالي، العدد الإجمالي للطرق هو مجموع الطرق في الحالتين:
$3 \times {11 \choose 5} + {11 \choose 6}$.

الآن سنقوم بحساب القيم:
${11 \choose 5} = \frac{11!}{5!(11-5)!} = \frac{11!}{5! \times 6!} = 462$.
${11 \choose 6} = \frac{11!}{6!(11-6)!} = \frac{11!}{6! \times 5!} = 462$.

بالتالي:
$3 \times {11 \choose 5} = 3 \times 462 = 1386.$
${11 \choose 6} = 462.$

وبالتالي، العدد الإجمالي للطرق هو:
$1386 + 462 = 1848$.

إذاً، هناك 1848 طريقة لاختيار 6 لاعبات بشرط أن تكون إحدى الثلاثيات متواجدة في التشكيلة الأساسية.

لحل مسألة اختيار 6 لاعبات لفريق الكرة الطائرة مع شرط وجود واحدة من الثلاثيات في التشكيلة الأساسية، نستخدم مبدأ الاحتمالات ومفهوم الاختيارات المتاحة.

1. مبدأ الاحتمالات:
   هذا المبدأ يقول إنَّ الاحتمالات تمثل النسبة المئوية لحدوث حدث ما مقارنة بالحوادث الكلية المحتملة. في هذه المسألة، نستخدم هذا المبدأ لحساب عدد الطرق الممكنة لاختيار 6 لاعبات.

2. قانون الجمع:
   يقول هذا القانون إنه إذا كان لدينا حالتان لا تتعارضان، فيمكننا جمع عدد النتائج لكل حالة. في هذه المسألة، لدينا حالتان: اختيار إحدى الثلاثيات واختيار اللاعبات الباقية، واختيار 6 لاعبات من بين اللاعبات المتبقية دون الثلاثيات.

3. قوانين الاختيار والترتيب:
   في حساب الاحتمالات، نستخدم قوانين الاختيار والترتيب. على سبيل المثال، لحساب عدد الطرق لاختيار 5 لاعبات من بين 11، نستخدم ترتيب الاختيارات التي يمكن أن تكون مرتبة أو غير مرتبة.

الآن، لنلخص الخطوات المتبعة لحل المسألة:

1. احتساب عدد الطرق لاختيار إحدى الثلاثيات واختيار 5 لاعبات من الـ 11 المتبقيات.
2. احتساب عدد الطرق لاختيار 6 لاعبات من الـ 11 المتبقيات دون اختيار أي من الثلاثيات.
3. جمع النتائج لكل من الحالتين السابقتين للحصول على العدد الإجمالي للطرق الممكنة.

أما بالنسبة للحسابات الرياضية، فقد استخدمنا قاعدة الاختيار في حساب عدد الطرق للاختيار، واستخدمنا الجمع في حساب العدد الإجمالي للطرق.

بهذه الطريقة، نضمن أن نحسب جميع الاحتمالات الممكنة بشكل صحيح ونعطي الإجابة الصحيحة للمسألة المطروحة.