حل مسألة: احتمالية عامل 4! (مسألة رياضيات)

نُختار عددًا عشوائيًا من مجموعة الأعداد الطبيعية المتتالية ${1، 2، X، \ldots، 24}$. ما هي احتمالية أن يكون العدد المُختار عاملاً لـ $4!$؟ اعتبر الإجابة على هذا السؤال تكون $\frac{1}{3}$. ما قيمة المتغير المجهول X؟

نلاحظ أن $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$. إذاً، أعداد $1$ و$2$ و$3$ و$4$ جميعها عوامل للعدد $4!$.

إذاً، نحتاج إلى معرفة كم عدد في النطاق ${1، 2، X، \ldots، 24}$ هو عامل لـ $4!$.

الأعداد التي يمكن أن تكون عوامل لـ $4!$ هي $1$ و $2$ و $3$ و $4$ و $6$ و $8$ و $12$ و $24$.

بالتالي، الأعداد الممكنة للعاملة في $4!$ هي $8$ أعداد.

الآن، إذا كانت الاحتمالية مساوية لـ $\frac{1}{3}$، فإن عدد الأعداد التي تكون عوامل لـ $4!$ يجب أن يكون ثلث الأعداد الممكنة في النطاق.

إذاً، نحتاج إلى حساب عدد الأعداد في النطاق ${1، 2، X، \ldots، 24}$.

النطاق يحتوي على $24 – X + 1$ عددًا.

وبما أن الاحتمالية مساوية لـ $\frac{1}{3}$، فإن النسبة بين عدد الأعداد التي تكون عوامل لـ $4!$ إلى إجمالي عدد الأعداد في النطاق تساوي $\frac{8}{24 – X + 1} = \frac{1}{3}$.

نقوم بحل المعادلة التالية للعثور على قيمة $X$:

إذاً، قيمة المتغير المجهول $X$ تساوي $1$.

لحل المسألة، نستخدم مفهوم الاحتمالية والقوانين الأساسية لحساب الاحتمالات، بالإضافة إلى فهم خصائص العوامل والأعداد.

القوانين المستخدمة:

1. قانون الاحتمالات:
   إذا كان لدينا عدد محدد من النتائج الممكنة، فإن الاحتمالية تُعبر عن النسبة بين عدد النتائج المرجوة وعدد النتائج الممكنة بشكل عام.

2. فهم العوامل:
   نعرف أن العوامل هي الأعداد التي تقسم عددًا معينًا بدون بقية. على سبيل المثال، عوامل العدد $6$ هي $1$ و $2$ و $3$ و $6$.

3. مفهوم العدد التسلسلي:
   يساوي العدد التسلسلي لنطاق من الأعداد الطبيعية الفارق بين أكبر وأصغر عددين في النطاق، بالإضافة إلى واحد.

الآن، لنبدأ في حل المسألة:

نعلم أن $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.

نحتاج إلى معرفة الأعداد التي تقسم $24$ بدون بقية، وهي $1$ و $2$ و $3$ و $4$ و $6$ و $8$ و $12$ و $24$.

المجموعة المعطاة هي ${1، 2، X، \ldots، 24}$. نبحث عن قيمة $X$ التي تجعل عددًا إضافيًا من الأعداد في هذا النطاق يكون عاملًا لـ $4!$.

لدينا معادلة للاحتمالية:

يمكننا حل هذه المعادلة للعثور على $X$.

المعادلة تصبح:

ومن خلال حل المعادلة، نحصل على $X = 1$.

هذا يعني أن العدد المجهول $X$ يساوي $1$.

باختصار، حل المسألة يتضمن استخدام فهمنا للأعداد والاحتمالات مع استخدام القوانين الأساسية للرياضيات.