حل مسألة احتمالات تسلسل بصفر وواحد (مسألة رياضيات)

يتم توليد تسلسل مكون من عشرة أصفار و/أو واحدات بشكل عشوائي. إذا كانت الاحتمالية التي يكون فيها التسلسل لا يحتوي على واحدتين متتاليتين يمكن كتابتها على شكل $\dfrac{m}{n}$، حيث $m$ و $n$ هما أعداد صحيحة إيجابية متوافقة، فإنه يتعين إيجاد قيمة $m+n$.

الحل:
لنقم بتحديد الاحتمالية المطلوبة. تذكر أنه من أجل أن لا يكون هناك واحدتان متتاليتان في التسلسل، يجب أن تكون الواحدات منفصلة بصفرات. وبما أن هناك عشرة أرقام في التسلسل، فإن عدد الطرق لاختيار مواقع الواحدات هو $9$، حيث يمكن وضع الواحدة في أي من الأماكن العشرة باستثناء الموقع الأخير.

بما أن هناك اثنتان فقط من الخيارات التي يمكن أن تأتي في المكان الأول (صفر أو واحد)، وباعتبار أن الاحتمالات مستقلة، فإن الاحتمالية الكلية للحصول على تسلسل لا يحتوي على واحدتين متتاليتين هي:
$P = \frac{\text{عدد الطرق الناجحة}}{\text{إجمالي الطرق الممكنة}} = \frac{2 \times 9}{2^{10}} = \frac{18}{1024}$

حيث قمنا بضرب الاحتماليات للحصول على الواحدة في الموقع الأول (التي تكون اثنتان) بعدد الطرق الممكنة لاختيار المواقع الباقية للواحدات.

الآن، يجب أن نقوم بتبسيط الكسر المعطى:
$P = \frac{18}{1024} = \frac{9}{512}$

وبالتالي، $m=9$ و $n=512$.

أخيرًا، نجمع قيم $m$ و $n$:
$m+n = 9 + 512 = 521$

إذاً، الإجابة هي $521$.

لحل المسألة، نحتاج أولاً إلى فهم القوانين والمفاهيم المستخدمة في الاحتمالات:

1. الاحتمال المستقلة: إذا كانت حدثان مستقلين، فإن الحدث الذي يحدث في واحد منهما لا يؤثر على الحدث الآخر. في هذه المسألة، احتمالية وجود واحدة في أي موقع مستقلة عن وجود واحدة في أي موقع آخر.

2. قاعدة الضرب: إذا كان هناك عدة خطوات يجب أن تتم لحدوث حدث معين، فإن الاحتمال الكلي لحدوث هذا الحدث يتم عن طريق ضرب الاحتماليات لكل خطوة.

3. قاعدة الجمع: في حالة وجود عدة طرق ممكنة لحدوث حدث معين، يمكننا جمع الاحتماليات لكل طريقة للحصول على الاحتمال الكلي.

الآن، بناءً على هذه القوانين، نحتاج إلى حساب الاحتمالية لعدم وجود واحدتين متتاليتين في التسلسل.

1. يمكن أن يكون لدينا واحدة في الموقع الأول بشكل مستقل من المواقع الباقية، لذا هناك $2$ طرق لذلك.
2. للمواقع الباقية، هناك $9$ مواقع حيث يمكن وضع الواحدة (جميع المواقع باستثناء الموقع الأخير).

باستخدام قاعدة الضرب، نحسب الاحتمال كالتالي:
$P = \frac{\text{عدد الطرق الناجحة}}{\text{إجمالي الطرق الممكنة}} = \frac{2 \times 9}{2^{10}} = \frac{18}{1024}$

حيث $2$ هو عدد الطرق الممكنة لوضع واحدة في الموقع الأول، و $9$ هو عدد المواقع المتبقية التي يمكن وضع الواحدة فيها، و $2^{10}$ هو إجمالي عدد التسلسلات الممكنة لعشرة أرقام.

بعد الحساب، يجب تبسيط الكسر للحصول على الجواب النهائي. في هذه الحالة، الكسر يمكن تبسيطه إلى $\frac{9}{512}$.

أخيرًا، يتم جمع العددين $9$ و $512$ للحصول على الإجابة النهائية التي هي $521$.

هذا هو الحل بتفصيل المراحل واستخدام القوانين الأساسية للاحتمالات.