حل مسألة احتمالات الهندسة الرياضية (مسألة رياضيات)

يتم اختيار نقطة عشوائية على المستقيم العددي بين 0 و 1 ويتم تلوين تلك النقطة باللون الأخضر. ثم، يتم اختيار نقطة أخرى عشوائية على المستقيم العددي بين 0 و X، ويتم تلوين تلك النقطة باللون الأرجواني. ما هي احتمالية أن يكون رقم النقطة الأرجوانية أكبر من رقم النقطة الخضراء، ولكن أقل من ضعف رقم النقطة الخضراء هو 4. ما قيمة المتغير المجهول X؟

لحل هذه المسألة، لنبدأ بتعريف المساحة التي تمثل جميع النقاط التي يمكن اختيارها على المستقيم العددي بين 0 و 1، وهي 1، لأن المسافة بين 0 و 1 هي 1.

ثم، نحتاج إلى تحديد المساحة التي تمثل النقاط التي يكون فيها رقم النقطة الأرجوانية أكبر من رقم النقطة الخضراء ولكن أقل من ضعف رقم النقطة الخضراء. للقيام بذلك، دع X تمثل النقطة الخضراء.

لنبدأ بالنقاط التي يتم اختيارها على المستقيم العددي بين 0 و X. في هذه الحالة، المسافة بين هذه النقاط تكون X. لذلك، المساحة التي تمثل النقاط التي يكون فيها رقم النقطة الأرجوانية أكبر من رقم النقطة الخضراء ولكن أقل من ضعف رقم النقطة الخضراء هي X.

الآن، يجب علينا تحديد الاحتمالية المطلوبة، وهي المسافة بين 0 و 1 التي تمثل النقطات التي تتبع الشرط المطلوب.

إذاً، نحن بحاجة إلى حل المعادلة:
$X = 4 \times (1 – X)$

حيث $(1 – X)$ يمثل المسافة بين النقطة الخضراء والنقطة الأقصى على المستقيم، والتي تكونت منها مسافة $X$ للنقطة الخضراء.

الآن، سنقوم بحساب قيمة $X$:
$X = 4 – 4X$
$5X = 4$
$X = \frac{4}{5}$

إذاً، القيمة الصحيحة للمتغير المجهول $X$ هي $\frac{4}{5}$.

لحل هذه المسألة، نحن بحاجة إلى فهم الشروط المطلوبة واستخدام القوانين الأساسية للاحتمالات والهندسة الرياضية.

القوانين المستخدمة في الحل تشمل:

1. قانون الاحتمالات:
   قانون يستخدم لحساب الاحتمالات، حيث يعبر عن نسبة النتائج المرغوبة إلى عدد كل النتائج الممكنة.

2. الهندسة الرياضية:
   نستخدم المفاهيم الهندسية لفهم العلاقات بين النقاط والمسافات على المستقيم العددي.

الآن، دعونا نحل المسألة خطوة بخطوة:

1. لنحسب المسافة بين النقطة الخضراء والنقطة الأرجوانية في الحالة الأولى. هذه المسافة تتراوح بين 0 و 1.

2. في الحالة الثانية، لنحدد المسافة بين النقطة الخضراء والنقطة الأرجوانية بشرط أن تكون النقطة الأرجوانية أكبر من النقطة الخضراء ولكن أقل من ضعف النقطة الخضراء.

3. نقوم بوضع المعادلة التي تعبر عن هذا الشرط، والتي هي $X = 4 \times (1 – X)$، حيث $X$ هو المسافة بين النقطة الخضراء والنقطة الأرجوانية.

4. نحل المعادلة للعثور على قيمة $X$.

5. الآن، بمجرد أن نعرف قيمة $X$، يمكننا استخدامها لحساب الاحتمالية المطلوبة.

تمثل الخطوات السابقة الطريقة المتعارف عليها لحل المسألة باستخدام الاحتمالات والهندسة الرياضية، مما يسمح لنا بالوصول إلى الإجابة بطريقة دقيقة ومفصلة.