حل مسألة: أكبر مشترك لمقسومين (مسألة رياضيات)

نريد إيجاد أكبر مشترك للمقسومين $n^3 + 3^2$ و $n + 2$، حيث $n$ عدد صحيح موجب أكبر من $2^3$. لنبدأ بتحليل القوى والمتغيرات في المتبقين:

1. المقسوم الأول: $n^3 + 3^2$
2. المقسوم الثاني: $n + 2$

نبدأ بتحليل المقسوم الأول:

ويمكن تحليل هذا المتبقي باستخدام مُعرف بيل:

هنا، $a = n$ و $b = 3$، لذا:

المقسوم الثاني بسيط ولا يمكن تفكيكه.

لتحديد أكبر مشترك، نقوم بمقارنة المعادلة الثانية مع العامل الأول في تحليل المقسوم الأول. يجب أن يكون هناك اختلاف في القوى للتوصل لحل مشترك. لذا، نقوم بمقارنة القوى ونجد أن:

• في العامل الأول: القوى للمتغير $n$ هي $1$ و $2$.
• في المقسوم الثاني: القوة للمتغير $n$ هي $1$.

لكي يكون لدينا مشترك، يجب أن تكون القوى المشتركة مضاعفة للقوة الأصغر. وهنا نرى أن القوة الأصغر هي $1$، لذا يجب أن تكون القوى المشتركة $1$ أيضاً.

العامل المشترك يكون $n + 3$.

لذا، العامل المشترك هو العامل الثاني في تحليل المقسوم الأول: $n + 3$.

أخيرًا، العامل المشترك بين $n^3 + 3^2$ و $n + 2$ هو $n + 3$.

لحل المسألة، سنستخدم مفهوم الهوية الجبرية وبعض القوانين الأساسية في الجبر. الهدف هو إيجاد أكبر مشترك للمقسومين $n^3 + 3^2$ و $n + 2$.

القوانين المستخدمة:

1. قانون تجزئة العدد: يسمح لنا بتجزئة التعبيرات إلى عواملها الأساسية.
2. قانون الهوية الجبرية لمجموع مكعبين: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 – ab + b^2)$.
3. قانون الهوية الجبرية لفارق مكعبين: $a^3 – b^3 = (a – b)(a^2 + ab + b^2)$.

الآن، دعنا نبدأ في حل المسألة:

1. نريد إيجاد الهوية الجبرية للمقسوم الأول $n^3 + 3^2$.
   $n^3 + 3^2 = n^3 + 9$
   وباستخدام قانون الهوية الجبرية لمجموع مكعبين، يمكننا كتابتها على النحو التالي:
   $n^3 + 9 = (n + 3)(n^2 – 3n + 9)$

2. المقسوم الثاني $n + 2$ لا يمكن تفكيكه.

3. نقارن العوامل المشتركة في المقسوم الأول والمقسوم الثاني.

   • المقسوم الثاني يحتوي على $n + 2$.
   • العامل $(n + 3)$ موجود في المقسوم الأول.

4. لإيجاد العامل المشترك، نتأكد أنه لا يوجد عوامل مشتركة أخرى.

5. العامل المشترك بين $n^3 + 3^2$ و $n + 2$ هو العامل الثاني في تجزئة المقسوم الأول، وهو $(n + 3)$.

بالتالي، أكبر مشترك للمقسومين هو $(n + 3)$.

هذا هو الحل المفصل للمسألة باستخدام الهويات الجبرية وتجزئة العوامل.