حل مسألة: أكبر مجموع لأعداد متتالية قبل 400 (مسألة رياضيات)

أحد التحديات الرياضية المثيرة هي حساب أكبر مجموع لعدد متتالي من الأعداد الصحيحة الإيجابية قبل أن يتجاوز المجموع قيمة 400. لنقم بتحليل هذه المشكلة بشكل دقيق.

لنمثل العدد الأول في المجموع بـ “n”، حيث n هو عدد صحيح إيجابي. سنقوم بإضافة الأعداد التالية بتتابع، لذا يمكننا تمثيل العدد الثاني بـ “n + 1″، والثالث بـ “n + 2″، وهكذا.

المجموع الكلي للأعداد المتتالية يمكن تمثيله بمعادلة:
$S = n + (n + 1) + (n + 2) + \ldots$

لحساب الجملة المتتالية، يمكننا استخدام القاعدة التالية للمجموع:
$S = \frac{n \cdot (n + 1)}{2}$

الآن، يتعين علينا حل المعادلة:
$\frac{n \cdot (n + 1)}{2} > 400$

بالضرورة، سنحتاج إلى حل هذه المعادلة للعثور على القيمة الأدنى لـ “n” التي تحقق هذا الشرط. يمكننا ببساطة تضمين هذه المعادلة وحلها:

$n \cdot (n + 1) > 800$

بتوسيع القاعدة، يصبح لدينا:

$n^2 + n > 800$

المعادلة السابقة تعبر عن معادلة من الدرجة الثانية، ويمكننا حلها باستخدام الطريقة التالية:

$n^2 + n – 800 > 0$

الآن، يمكننا حساب الجذرين للمعادلة السابقة باستخدام الصيغة:
$n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث:
$a = 1, \quad b = 1, \quad c = -800$

الآن نحسب الجذرين باستخدام الصيغة، ونختار الجذر الإيجابي لأن n يمثل عدد صحيح إيجابي:

$n = \frac{-1 + \sqrt{1 + 3200}}{2}$
$n = \frac{-1 + \sqrt{3201}}{2}$

بتقريب القيمة، نحصل على:

$n \approx \frac{-1 + 56.56}{2}$
$n \approx \frac{55.56}{2}$
$n \approx 27.78$

إذاً، يتعين علينا استخدام أكبر عدد صحيح إيجابي أقل من 27.78. بما أن n يجب أن يكون عدد صحيح، يمكننا استخدام أقصى قيمة صحيحة لـ n، وهي 27.

الآن، يمكننا حساب المجموع الإجمالي باستخدام القاعدة المذكورة سابقًا:

$S = \frac{n \cdot (n + 1)}{2}$
$S = \frac{27 \cdot (27 + 1)}{2}$
$S = \frac{27 \cdot 28}{2}$
$S = \frac{756}{2}$
$S = 378$

إذاً، يمكننا جمع 27 عددًا متتاليًا قبل أن يتجاوز المجموع قيمة 400.

لنقم بتوضيح الحل بمزيد من التفاصيل وذلك باستخدام القوانين الرياضية والجبر. نبدأ بتمثيل المجموع الكلي للأعداد المتتالية باستخدام الرمز $S$:

$S = n + (n + 1) + (n + 2) + \ldots$

نعلم أن الجملة المتتالية يمكن تمثيلها باستخدام القاعدة التالية للمجموع:

$S = \frac{n \cdot (n + 1)}{2}$

وهذه تعبر عن المجموع الكلي لأول $n$ عدد صحيح. الآن، وحيث أننا نريد أن يكون هذا المجموع أكبر من 400، فإن المعادلة الرياضية تصبح:

$\frac{n \cdot (n + 1)}{2} > 400$

لنقم بتوسيع هذه المعادلة وترتيبها:

$n \cdot (n + 1) > 800$

التي تعبر عن الشرط الأساسي. لحل هذه المعادلة، نقوم بتحويلها إلى معادلة من الدرجة الثانية:

$n^2 + n – 800 > 0$

ونحسب الجذرين باستخدام الصيغة العامة لحساب الجذور في المعادلة من الدرجة الثانية:

$n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث:
$a = 1, \quad b = 1, \quad c = -800$

ونحسب قيمة الجذر باستخدام القيم المعطاة:

$n = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 3200}}{2}$

وهنا نستخدم الجذر الإيجابي لأن $n$ يمثل عددًا صحيحًا إيجابيًا. بعد الحسابات، نحصل على:

$n = \frac{-1 + \sqrt{3201}}{2}$

وهذه تمثل القيمة الدقيقة لـ $n$. الآن نقوم بتقريب هذه القيمة لأقرب عدد صحيح، والذي هو 27. وبالتالي، نستنتج أن أكبر عدد متتالي من الأعداد الإيجابية يمكن جمعها قبل أن يتجاوز المجموع قيمة 400 هو 27.

للتأكد من صحة الحل، نقوم بحساب المجموع الكلي باستخدام القاعدة:

$S = \frac{n \cdot (n + 1)}{2}$

ونحسبها للقيمة $n = 27$:

$S = \frac{27 \cdot (27 + 1)}{2} = \frac{27 \cdot 28}{2} = \frac{756}{2} = 378$

ونرى أن القيمة 378 هي أقل من 400، مما يؤكد أن هذا الحل صحيح.