حل مسألة: أكبر عامل أولي (مسألة رياضيات)

نريد أن نجد أكبر عامل أولي للعدد 11! + 12!.

أولاً، لنقم بتحديد قيمة 11! + 12!:
11! = 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
12! = 12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1

إذاً:
11! + 12! = 11! × (1 + 12)
= 11! × 13

الآن، نحتاج إلى حساب قيمة 11!:
11! = 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
= 39,916,800

إذاً:
11! + 12! = 39,916,800 × 13
= 518,918,400

الآن، لنبحث عن أكبر عامل أولي للعدد 518,918,400.

نبدأ بالقسمة على الأعداد الأولية الأصغر للتحقق من وجود عوامل أولية:

1. 2: 518,918,400 ÷ 2 = 259,459,200
2. 3: 259,459,200 ÷ 3 = 86,486,400
3. 5: 86,486,400 ÷ 5 = 17,297,280
4. 7: 17,297,280 ÷ 7 = 2,471,040
5. 11: 2,471,040 ÷ 11 = 224,640
6. 13: 224,640 ÷ 13 = 17,280
7. 17: 17,280 ÷ 17 = 1,016
8. 19: 1,016 ÷ 19 = 53 (لا توجد قسمة بدون باقي)
9. 23: 53 ÷ 23 = 2 (لا توجد قسمة بدون باقي)

نكتشف أن أكبر عامل أولي للعدد 518,918,400 هو 23.

إذاً، العامل الأولي الأكبر للعبارة 11! + 12! هو 23.

لحل مسألة إيجاد أكبر عامل أولي للعبارة $11! + 12!$، نحتاج إلى استخدام مفاهيم الأعداد الأولية والعوامل الأولية.

أولاً وقبل البدء في الحل، لنوضح بعض القوانين والمفاهيم المستخدمة:

1. العدد الأولي (Prime Number): هو عدد يقبل القسمة على نفسه وعلى 1 فقط دون أن يكون له أي عوامل أخرى.

2. عامل (Factor): هو عدد يقسم العدد الأصلي بدون باقي. يمكن أن يكون العامل الأولي هو عامل يتألف من الأعداد الأولية فقط.

3. تقسيم العدد (Division): عملية تقسيم عدد على عدد آخر للعثور على الناتج والباقي.

4. العملية العاملية (Factorization): هي عملية تحليل العدد إلى عوامله الأولية.

الآن، لنبدأ بحساب قيمة $11! + 12!$:

$11! + 12! = 11! \times (1 + 12) = 11! \times 13$

ونعلم أن $11!$ هو العبارة التي تمثل حاصل ضرب الأعداد من 1 إلى 11.

بمعالجة هذا الحساب، نحصل على قيمة $11!$ التي تساوي $39,916,800$.

إذاً، قمنا بضرب $39,916,800$ في 13 للحصول على قيمة $11! + 12!$، والتي تكون $518,918,400$.

الآن، نبحث عن العوامل الأولية لهذا العدد. نبدأ بالأعداد الأولية الأصغر ونقوم بتقسيم $518,918,400$ على كل عدد أولي للتحقق مما إذا كانت هناك عوامل أولية:

1. نقوم بتقسيمه على 2 للتحقق مما إذا كان يقبل القسمة على 2 أم لا.
2. ثم نقوم بتقسيمه على 3، وبالتالي حتى نصل إلى عوامل أولية أكبر.

نستمر في هذه العملية حتى نجد أكبر عامل أولي للعبارة $11! + 12!$.

بعد التحقق، نجد أن أكبر عامل أولي للعبارة هو 23.

القوانين المستخدمة في هذا الحل هي قوانين الأعداد الأولية والعمليات الحسابية الأساسية مثل الضرب والقسمة والتحقق من العوامل الأولية.