حل مسألة: أعداد مشتركة وأعداد أولية (مسألة رياضيات)

أولاً، سنبدأ بتحليل الأعداد المعطاة: 128، 144، و480، لنعرف ما هو العدد الأكبر الذي يقسم الأعداد الثلاثة دون بقية. نبدأ بقسمة الأعداد على الأعداد الأصغر التي تسبقها:

128 ÷ 2 = 64
144 ÷ 2 = 72
480 ÷ 2 = 240

ثم نواصل:

64 ÷ 2 = 32
72 ÷ 2 = 36
240 ÷ 2 = 120

ما زلنا نستطيع قسمها على 2:

32 ÷ 2 = 16
36 ÷ 2 = 18
120 ÷ 2 = 60

ثم نقسم على 2 مرة أخرى:

16 ÷ 2 = 8
18 ÷ 2 = 9
60 ÷ 2 = 30

الآن نستمر في القسمة على 2:

8 ÷ 2 = 4
9 لا يمكن قسمها على 2 بدون بقية
30 ÷ 2 = 15

نقسم 4 على 2:

4 ÷ 2 = 2

الآن، لا يمكننا قسم أي من الأعداد المتبقية على 2 بدون بقية.

تقسيم 9 على الأعداد الأولية يعطينا الرقم 3.

إذاً، العدد الأكبر الذي يقسم 128، 144، و480 دون بقية هو العدد 2 مرفوع للقوة 4، وهو يساوي 16.

وبالتالي، القاسم المشترك الأكبر لأعداد 128، 144، و480 هو الرقم 16.

لحل مسألة العثور على أكبر عامل مشترك لأعداد 128، 144، و480، نحتاج إلى استخدام عدة خطوات وقوانين حسابية.

أولاً وقبل كل شيء، نحن نبحث عن العامل المشترك الأكبر بين هذه الأعداد. العامل المشترك الأكبر هو العدد الأكبر الذي يمكن أن يقسم كل من الأعداد دون بقية.

الخطوة الأولى في حل هذه المسألة هي تحليل الأعداد إلى عواملها الأولية. يتم هذا عن طريق تقسيم الأعداد على أصغر الأعداد الأولية التي يمكن أن تقسمها بدون بقية.

قوانين الأعداد الأولية:

1. يبدأ البحث عن الأعداد الأولية من الرقم 2.
2. نقسم الأعداد على أصغر الأعداد الأولية ونكرر هذه العملية حتى لا يمكن تقسيم الأعداد بدون بقية.
3. عندما لا يمكن تقسيم العدد على أي عدد أولي آخر، يعتبر العدد نفسه عددًا أوليًا.

الآن، دعونا نبدأ بتحليل الأعداد المعطاة:

1. 128 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = $2^7$
2. 144 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 3 = $2^4 * 3^2$
3. 480 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 5 = $2^5 * 3^1 * 5^1$

الآن، نحن ننظر إلى الأعداد الأولية المشتركة بين الأعداد التي تمثلها قوة الأعداد الأولية. وهذا هو المرحلة التالية في العثور على العامل المشترك الأكبر.

نرى أن أصغر عدد أولي مشترك هو 2، ولكننا نحتاج إلى أكبر قوة من 2 التي تظهر في كل الأعداد، وهي $2^5$.

نجد أيضًا عاملًا مشتركًا في الأعداد 144 و480 وهو العدد 3، لكن أكبر قوة من 3 تظهر في 144 وهي $3^2$.

بالتالي، العامل المشترك الأكبر هو $2^5 * 3^1$، أي $2^5 * 3 = 32 * 3 = 96$.

لذلك، العدد 96 هو العامل المشترك الأكبر لأعداد 128، 144، و480.