حل مسألة: أعداد مشتركة في القائمة (مسألة رياضيات)

الأعداد الأربعة الإيجابية التي تقسم كل عنصر في القائمة 36، 72، -12، 114، و 96 هي أعداد العوامل المشتركة بينهم. للعثور على هذه الأعداد، يجبنا أولاً تحديد الأعداد الأولية لكل عدد في القائمة، ثم نعثر على العوامل المشتركة بينهم.

36 = $2^2 \times 3^2$ \
72 = $2^3 \times 3^2$ \
-12 = $-1 \times 2^2 \times 3$ \
114 = $2 \times 3 \times 19$ \
96 = $2^5 \times 3$

الآن، نبدأ بتحليل كل عدد ونعثر على العوامل المشتركة بينهم. الأعداد الأولية هي 2 و 3، لكن نحن بحاجة فقط إلى الأعداد الإيجابية، لذا سنركز على 2 و 3 فقط.

نلاحظ أن أعلى قوة للعدد 2 في القائمة هي 5 وأعلى قوة للعدد 3 هو 2، لكننا نحتاج إلى القوة الأقل لكل عدد للحصول على الأعداد المشتركة.

بالتالي، نلاحظ أن أعلى قوة للعدد 2 هي 3 وأعلى قوة للعدد 3 هي 1.

لذلك، الأعداد الإيجابية التي تقسم كل عنصر في القائمة هي $2^3 = 8$ و $3^1 = 3$.

الآن نجمع هذه الأعداد معًا: $8 + 3 = 11$.

إذاً، مجموع الأعداد الإيجابية التي تقسم كل عنصر في القائمة هو 11.

لحل المسألة، نحتاج إلى تحليل كل عدد في القائمة إلى عوامله الأولية. بعد ذلك، نحدد العوامل المشتركة بين جميع الأعداد ونحسب الأعداد الإيجابية التي تقسم كل عنصر في القائمة.

لنستعرض الخطوات بتفاصيل أكثر:

1. تحليل الأعداد إلى عواملها الأولية:

   • 36 = $2^2 \times 3^2$
   • 72 = $2^3 \times 3^2$
   • -12 = $-1 \times 2^2 \times 3$
   • 114 = $2 \times 3 \times 19$
   • 96 = $2^5 \times 3$

2. تحديد العوامل المشتركة بين الأعداد:

   • العامل المشترك هو 2 و 3، ونلاحظ أنه يجب أن نأخذ في اعتبارنا العدد -1 أيضًا لأننا نبحث عن العوامل المشتركة بين جميع الأعداد.

3. تحديد الأعداد الإيجابية المشتركة:

   • للعدد 2، أقل قوة تكرار هي 2.
   • للعدد 3، أقل قوة تكرار هي 1.

4. حساب الأعداد الإيجابية المشتركة:

   • $2^2 \times 3^1 = 2^2 \times 3 = 12$.

5. مجموع الأعداد الإيجابية المشتركة:

   • 2 و 3 تظهر مرتين ومرة واحدة على التوالي، لذا مجموعهم هو $2 + 2 + 3 = 7$.

باختصار، في هذا الحل استخدمنا قوانين علم الأعداد والقواعد الأساسية لتحليل الأعداد إلى عواملها الأولية وتحديد العوامل المشتركة بين مجموعة الأعداد. بعد ذلك، قمنا بحساب أقل قوة تكرار لكل عامل ومجموعها للعثور على الأعداد الإيجابية المشتركة وحساب مجموعها.