حل مسألة: أعداد قاعدية تحقق شرط الرقم المربع المثالي (مسألة رياضيات)

عدد الأعداد الصحيحة $n$ التي تقع في النطاق $3 \leq n \leq X$ والتي تجعل العدد $121_n$ (المكتوب كـ $121$ في نظام العد اللاتناقص $n$) مربعًا مثاليًا هو 8. لنحسب قيمة المتغير المجهول $X$.

الأعداد المكتوبة في نظام العدد $n$ بترتيب من الأعلى إلى الأسفل تكون $1$ و $2$ و $1$. إذا كان $121_n$ عددًا مربعًا مثاليًا، فإن أخر رقمين في التسلسل يجب أن يكونا متساويين، وبما أن الرقم الأخير هو $1$، يجب أن يكون الرقم الثاني هو $1$ أيضًا.

إذا كان الرقم الأول هو $1$، فإنه يعني أن قيمة $n$ تكون $1 \times n^2 + 2 \times n^1 + 1 \times n^0$ وهي مجموعة من الأعداد. يمكننا كتابة المعادلة التي تعبر عن هذا بشكل عام كالتالي:

$n^2 + 2n + 1 = k^2$

حيث $k$ هو عدد صحيح يمثل الجذر التربيعي لـ $121_n$.

المعادلة السابقة تعتبر معادلة تربيعية في $n$، ولحلها، يمكننا استخدام تقنيات حسابية. بعد حساب الحلول، يتبين أن هناك ثمانية قيم ممكنة لـ $n$ تحقق الشرط المطلوب.

إذاً، قيمة المتغير المجهول $X$ هي القيمة العليا للنطاق التي يمكن أن تأخذها $n$، وهي القيمة التي تحددها أكبر الحلول الممكنة للمعادلة التي قمنا بكتابتها. بناءً على الحلول المعروفة، يمكننا تحديد قيمة $X$ والتي هي 9.

إذاً، القيمة المطلوبة للمتغير $X$ هي 9.

لحل هذه المسألة، نستخدم القوانين المتعلقة بتحويل الأعداد بين نظم العد. نعلم أن $121_n$ تمثل عبارة عن تسعة واحد وعشرون في النظام العددي $n$. لنقم بكتابة هذا العدد بشكل عام في نظام عددي:

$121_n = 1 \times n^2 + 2 \times n^1 + 1 \times n^0$

ثم نقوم بحل المعادلة التي تأتي من شرط أن $121_n$ يجب أن يكون مربعًا مثاليًا. المعادلة تأتي من تعبيرنا عن $121_n$ كالتالي:

$n^2 + 2n + 1 = k^2$

حيث $k$ هو عدد صحيح يمثل الجذر التربيعي لـ $121_n$.

لحل هذه المعادلة، يمكننا استخدام القاعدة العامة لحساب الجذر التربيعي في المعادلات التربيعية:

$n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

في هذه المعادلة، القوانين المستخدمة تشمل:

1. تمثيل العدد في نظام العد اللاتناقص.
2. استخدام معادلة التربيع لتعبير عن العدد في نظام العد اللاتناقص.
3. حساب الجذر التربيعي باستخدام الصيغة العامة.

بعد حساب الحلول، يتضح أن هناك ثمانية قيم ممكنة لـ $n$ تحقق الشرط المطلوب. وبناءً على هذه القيم، يمكن تحديد قيمة المتغير المجهول $X$، وهي القيمة العليا للنطاق التي يمكن أن تأخذها $n$.

باختصار، تمثل الخطوات المستخدمة في الحل استخدام قوانين الرياضيات والجذور التربيعية لحل المعادلة وتحديد القيم الممكنة لـ $n$ وبالتالي قيمة $X$.