حل مسألة: أصغر قيمة لمعادلة منحنى رقيق (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:
تحديد أصغر قيمة لـ $y$ إذا كانت تساوي $3x^2 + 6x + 9$.

الحل:
لنقم بحساب الأصغر قيمة لـ $y$، نحتاج إلى معرفة النقطة التي تكون فيها المعادلة $y = 3x^2 + 6x + 9$ في أدنى مستوى لها. لحساب ذلك، يمكننا استخدام المفهوم الجبري للمربع الكامل.

أولاً، يجب أن نلاحظ أن المعادلة $y = 3x^2 + 6x + 9$ تمثل منحنىً رقيقاً (parabola) يتجه نحو الأعلى لأن المعامل الرئيسي $3$ إيجابي. وبما أن لا يوجد معامل لـ $x^2$ سالب، فإن المنحنى يقع فوق المحور الرئيسي. وبالتالي، نحن نبحث عن أدنى نقطة في هذا المنحنى.

نستخدم تقنية اكتمال المربع لاكتشاف هذه النقطة. لنبدأ بإكمال المربع في المعادلة $y = 3x^2 + 6x + 9$:

نعمل تكميل المربع على معامل $x$ فقط:
$3x^2 + 6x + 9 = 3(x^2 + 2x) + 9$

الآن، نحتاج إلى إضافة مربع يكمل المربع الأولي، وهو $(2/2)^2 = 1$. ومن ثم، يجب ضرب الـ $3$ في الرقم الجديد الذي تمت إضافته. إذاً، نقوم بإضافة وطرح $3 \times 1 = 3$ داخل الأقواس:

$3(x^2 + 2x + 1) + 9 – 3$

الآن، لدينا مربعان كاملان:

$3(x + 1)^2 + 6$

وهكذا وجدنا تمثيلًا مناسبًا للمنحنى الذي يتجه نحو الأعلى، ويمكننا أن نرى أن أصغر قيمة لـ $y$ هي عندما $x = -1$ (حيث يكون المربع التامل هو صفر):

$y_{\text{min}} = 3(-1 + 1)^2 + 6 = 3 \times 0 + 6 = 6$

إذاً، أصغر قيمة ممكنة لـ $y$ هي $6$، وتحدث عند $x = -1$.

لحل المسألة وتحديد أصغر قيمة لـ $y = 3x^2 + 6x + 9$، نستخدم عدة خطوات رياضية ونعتمد على بعض القوانين والمفاهيم الأساسية في الجبر.

1. مفهوم المنحنى الرقيق (Parabola): المعادلة $y = 3x^2 + 6x + 9$ تمثل منحنى رقيقًا (parabola) يتجه نحو الأعلى لأن المعامل الرئيسي $3$ إيجابي.

2. اكتمال المربع (Completing the Square): هذه التقنية تُستخدم لتحويل المعادلة إلى شكل كامل للمربع، مما يساعد في تحديد النقطة الدنيا للمنحنى.

3. نقطة التأثير (Vertex): نقطة التأثير هي النقطة التي تمثل أدنى نقطة في المنحنى (الحد الأقصى إذا كانت المنحنى يفترض لأسفل والحد الأدنى إذا كان يفترض لأعلى).

الآن، دعونا نحسب الأصغر قيمة لـ $y$ باستخدام هذه القوانين:

نبدأ بتكميل المربع:
$3x^2 + 6x + 9 = 3(x^2 + 2x) + 9$

نقوم بإضافة وطرح $3 \times 1 = 3$ داخل الأقواس:
$3(x^2 + 2x + 1) + 9 – 3$

الآن، لدينا مربعان كاملان:
$3(x + 1)^2 + 6$

من هنا، نرى أن أدنى قيمة لـ $y$ هي عندما $x = -1$ (حيث يكون المربع التامل هو صفر):
$y_{\text{min}} = 3(-1 + 1)^2 + 6 = 3 \times 0 + 6 = 6$

إذاً، أصغر قيمة ممكنة لـ $y$ هي $6$، وتحدث عند $x = -1$.

في هذا الحل، استخدمنا قوانين الجبر مثل اكتمال المربع لتحويل المعادلة إلى شكل مربع كامل، واستخدمنا مفهوم المنحنى الرقيق لفهم توجه المنحنى ونقطة التأثير.