حل مسألة: أدنى قيمة لـ $\gcd(10m,15n)$ (مسألة رياضيات)

إذا كانت $m$ و $n$ عددين صحيحين إيجابيين بحيث $\gcd(m,n) = 12$، فما هي أقل قيمة ممكنة لـ $\gcd(10m,15n)$؟

الحل:

لنجيب على هذا السؤال، يمكننا استخدام خاصية أن $\gcd(a,b) = \gcd(b, a \bmod b)$ حيث $\bmod$ تمثل عملية الباقي. بالتالي، نقوم بتطبيق هذه الخاصية على $\gcd(10m,15n)$.

نبدأ بحساب $10m \bmod 15$، وهذا يكون مكافئًا لحساب باقي قسمة $10m$ على $15$. لنقم بذلك:

$10m \bmod 15 = 10(m \bmod 15)$

ونعلم أن $\gcd(m,n) = 12$، لذا $m$ يمكن أن يكون في شكل $12k$ حيث $k$ عدد صحيح. بالتالي، $m \bmod 15 = 12k \bmod 15$.

الآن نقوم بحساب $12k \bmod 15$:

$12k \bmod 15 = 12(k \bmod 15)$

لكنها تكون مكافئة لـ $12k$ نظرًا لأن $k \bmod 15$ يكون نفسه. لذا:

$12(k \bmod 15) = 12k$

لذا، يمكننا قول أن $10m \bmod 15 = 12k$.

الآن ننظر إلى $\gcd(15n, 10m)$، وهو نفسه $\gcd(10m, 15n)$ بحسب القاعدة الأساسية للأعداد. يمكننا استخدام الخاصية نفسها:

$\gcd(15n, 10m) = \gcd(10m, 15n \bmod 10m)$

ونحسب $15n \bmod 10m$:

$15n \bmod 10m = 15(n \bmod \frac{10m}{\gcd(10m,15n)})$

نعلم أن $\gcd(m,n) = 12$، لذا $n$ يمكن أن يكون في شكل $12j$ حيث $j$ عدد صحيح. لذا، $n \bmod \frac{10m}{\gcd(10m,15n)} = 12j \bmod \frac{10m}{12}$.

وهذا يتبسم وكأنه تعقيد، لكن بما أننا نسعى للعثور على أقل قيمة ممكنة لـ $\gcd(10m, 15n)$، نعلم أن الكسر $\frac{10m}{12}$ يمكن أن يُبسط إلى $\frac{5m}{6}$.

إذاً، $n \bmod \frac{5m}{6} = 12j \bmod \frac{5m}{6}$.

لكن هذا يُبسط أيضًا إلى $12j \bmod \frac{m}{6}$، ونعلم أنه بما أن $\gcd(m,n) = 12$، فإن $m$ يمكن أن يكون في شكل $12k$.

لذا، $12j \bmod \frac{m}{6} = 12j \bmod 2k$.

وهذا يكون مكافئًا لـ $12j \bmod 2$، ونلاحظ أن القيم الممكنة لهذا الباقي هي إما 0 أو 1.

الآن نحسب $\gcd(10m, 15n \bmod 10m)$:

$\gcd(10m, 15n \bmod 10m) = \gcd(10m, 15n \bmod 2)$

لكن $15n \bmod 2$ سيكون إما 0 أو 1، لذا:

$\gcd(10m, 15n \bmod 10m) = \gcd(10m, 0) \text{ or } \gcd(10m, 1)$

ونعلم أن $\gcd(a, 0) = a$ لأي $a$، لذا:

$\gcd(10m, 15n \bmod 10m) = \gcd(10m, 0) = 10m$

إذا كانت أقل قيمة ممكنة لـ $\gcd(10m, 15n)$ هي $10m$، وبالتالي، إذا كانت $m$ تكون بأقل قيمة ممكنة، يجب أن تكون $m = 1$.

إذا كانت $m = 1$، فإن $\gcd(m, n) = \gcd(1, n) = 12$، وبالتالي $n$ يمكن أن يكون $12$.

إذا كانت $m = 1$ و $n = 12$، فإن $\gcd(10m, 15n) = \gcd(10, 180) = 10$.

لذا، القيمة الأصغر لـ $\gcd(10m, 15n)$ هي $10$.

بسم الله الرحمن الرحيم

لنقم بحل المسألة باستخدام بعض القوانين الرياضية المهمة:

المسألة:

إذا كانت $m$ و $n$ عددين صحيحين إيجابيين بحيث $\gcd(m,n) = 12$، فما هي أقل قيمة ممكنة لـ $\gcd(10m,15n)$؟

الحل:

1. قاعدة ألوية الحاصل الضربي لأقل مضاعف مشترك:
   إن قاعدة ألوية الحاصل الضربي تنص على أن ضرب أقل مضاعف مشترك لاثنين من الأعداد يساوي حاصل ضربهما مقسومًا على أقل مشترك لهما.

   $\text{LCM}(a, b) \times \gcd(a, b) = |a \times b|$

2. قاعدة التقسيم للباقي:
   إذا قسمنا عددًا على عدد آخر، فإن باقي القسمة يكون مجموعة من القيم التي تكون أقل من العدد الذي قسمنا عليه.

   $a \bmod b < |b|$

الآن لنقم بحل المسألة:

نعلم أن $\gcd(m,n) = 12$، وبناءً على قاعدة ألوية الحاصل الضربي، يمكننا كتابة:

$m \times n = 12 \times \gcd(m,n)$

مع العلم أن $\gcd(m, n) = 12$، يمكننا تبسيط العبارة إلى:

$m \times n = 12 \times 12$

$m \times n = 144$

الآن، نحن نبحث عن أقل قيمة ممكنة لـ $\gcd(10m, 15n)$. لنقم بحساب $\gcd(10m, 15n)$ بالاعتماد على قاعدة التقسيم للباقي.

لنحسب $10m \bmod 15$:
$10m \bmod 15 = 10(m \bmod 15)$

نعلم أن $m \times n = 144$، وبالتالي، $m$ يمكن أن يكون 1 و$n$ يكون 144 أو $m$ يكون 3 و $n$ يكون 48، وهكذا.

لنأخذ أقل قيمة ممكنة لـ $m$ و $n$، وهي $m = 1$ و $n = 144$. لذا:

$10(1) \bmod 15 = 10$

الآن نحسب $\gcd(10m, 15n)$:

$\gcd(10m, 15n) = \gcd(10, 15n \bmod 10)$

نعلم أن $\gcd(a, 0) = a$، لذا:
$\gcd(10, 15n \bmod 10) = \gcd(10, 0) = 10$

إذًا، أقل قيمة ممكنة لـ $\gcd(10m, 15n)$ هي 10.

القوانين المستخدمة:

• قاعدة ألوية الحاصل الضربي لأقل مضاعف مشترك.
• قاعدة التقسيم للباقي.