حل متباينة رياضية: قيم صحيحة لـ n (مسألة رياضيات)

عدد القيم الصحيحة المتميزة للمتغير $n$ التي تحقق المتباينة $| | n – 3 | + 4 | \le 15$ هو ما نسعى لحسابه.

لحل هذه المسألة، يمكننا فحص الحالات المختلفة للتعبير الذي يظهر في المتباينة. لنقم أولاً بتجزئة التعبير:

$| | n – 3 | + 4 | \le 15$

نبدأ بفك القيمتين المطلقتين:

1. إذا كان $n – 3$ موجبًا أو صفرًا:
   $| n – 3 + 4 | \le 15$
   $n + 1 \le 15$
   $n \le 14$

2. إذا كان $n – 3$ سالبًا:
   $| -(n – 3) + 4 | \le 15$
   $|-n + 7| \le 15$
   الآن، لدينا حالتين فرعيتين:

   • $-n + 7$ موجبًا:
     $-n + 7 \le 15$
     $-n \le 8$
     $n \ge -8$
   • $-n + 7$ سالبًا:
     $n – 7 \le 15$
     $n \le 22$

للخلاصة، القيم الممكنة لـ $n$ تكون بين $-8$ و $14$ أو تكون أقل من أو تساوي $22$.

إذاً، عدد القيم الصحيحة المتميزة لـ $n$ هو الفارق بين الحدود العليا والسفلى، أي $14 – (-8) + 1 = 23$ قيمة.

لحل هذه المسألة، سنقوم بتحليل التعبير الموجود في المتباينة واستخدام القوانين الرياضية المعروفة للتعامل مع قيم المتغير. سنقوم بالخطوات التالية:

المتباينة هي:
$| | n – 3 | + 4 | \le 15$

فلنقم بتحليلها:

1. فك القيم المطلقة الداخلية:
   $| n – 3 + 4 | \le 15$
   $| n + 1 | \le 15$

   هنا استخدمنا قاعدة الفك للمطلقين.

2. فك القيمة المطلقة الخارجية:
   لدينا اثنتين من الحالات:

   • إذا كانت $n + 1$ موجبة أو صفر:
     $n + 1 \le 15$
     $n \le 14$

   • إذا كانت $n + 1$ سالبة:
     $-(n + 1) \le 15$
     $-n – 1 \le 15$
     $-n \le 16$
     $n \ge -16$

3. تحديد النطاق النهائي:
   لنجمع النطاقين الناتجين من الحالتين:
   $-16 \le n \le 14$

4. تحديد عدد القيم:
   نحسب عدد القيم الصحيحة في هذا النطاق:
   $14 – (-16) + 1 = 31$

القوانين المستخدمة:

• قاعدة الفك للمطلقين: إذا كان $|a + b|$، فإنه يمكن فكه إلى $|a| + |b|$ أو $|a – b|$ اعتمادًا على علامة $b$.
• تطبيق النطاقات: عند حساب حلول المتباينات، نستخدم قوانين الجبر ونقوم بتحديد نطاقات للمتغيرات.

المجموعة النهائية للقيم الصحيحة لـ $n$ هي بين $-16$ و $14$، وعددها 31 قيمة.