حل متباينات القيمة المطلقة

حل متباينات القيمة المطلقة

تُعدُّ متباينات القيمة المطلقة من المواضيع الأساسية في الرياضيات التي يتم تناولها في مرحلة التعليم الثانوي، وهي من المواضيع التي تحتاج إلى فهم دقيق لآلية حلها، حيث تتضمن التعامل مع دوال القيمة المطلقة التي لها خصائص خاصة في الجبر والهندسة. في هذا المقال، سنتناول شرحاً مفصلاً لمتباينات القيمة المطلقة، بما في ذلك كيفية تحليلها وحلها خطوة بخطوة، بالإضافة إلى توضيح أمثلة عملية توضح هذه العمليات.

1. مفهوم القيمة المطلقة

القيمة المطلقة لعدد هي المسافة التي يفصل بها هذا العدد عن الصفر على محور الأعداد. يُرمز لها بالرمز $|x|$، حيث:

• إذا كان $x \geq 0$، فإن $|x| = x$.

• إذا كان $x < 0$، فإن $|x| = -x$.

بمعنى آخر، القيمة المطلقة لأي عدد هي القيمة الإيجابية لهذا العدد بغض النظر عن علامته الأصلية. على سبيل المثال:

• $|5| = 5$

• $|-5| = 5$

2. أنواع متباينات القيمة المطلقة

تنقسم متباينات القيمة المطلقة إلى نوعين رئيسيين:

1. متباينات من الشكل $|f(x)| < k$.

2. متباينات من الشكل $|f(x)| > k$.

سنقوم بشرح كيفية حل كل نوع منهما في الفقرات التالية.

3. حل متباينات القيمة المطلقة من الشكل $|f(x)| < k$

تُعبر متباينة من هذا النوع عن حالة يكون فيها التعبير داخل القيمة المطلقة أقل من مقدار ثابت $k$. لحل متباينة من هذا النوع، يجب مراعاة أن القيمة المطلقة لأي عدد تكون دائماً غير سلبية، لذا يتم تحويل المتباينة إلى متباينتين غير متساويتين.

الخطوات لحل متباينة $|f(x)| < k$

نفترض أن المتباينة هي $|f(x)| < k$، حيث $k$ عدد موجب. فإن الحل يتم على النحو التالي:

1. إزالة القيمة المطلقة: نعلم أن $|f(x)| < k$ يعني أن $-k < f(x) < k$.

2. حل المتباينة الناتجة: الآن نحل المتباينة العادية التي تمثل الفقرة السابقة.

3. فحص مجموعة الحلول: بما أن $k$ عدد موجب، فإن الحل سيكون مجموعة من القيم التي تحقق المتباينة الأصلية.

مثال 1:

لنأخذ المثال التالي لحل متباينة من هذا النوع:

$|x – 3| < 5$

1. إزالة القيمة المطلقة:
   $-5 < x - 3 < 5$

2. حل المتباينة:
   $-5 + 3 < x < 5 + 3$
   $-2 < x < 8$

3. نتيجة الحل:
   $x$ ينتمي إلى الفترة $(-2, 8)$.

مثال 2:

لنأخذ المثال التالي:

$|2x + 1| < 7$

1. إزالة القيمة المطلقة:
   $-7 < 2x + 1 < 7$

2. حل المتباينة:
   $-7 – 1 < 2x < 7 - 1$
   $-8 < 2x < 6$
   $-4 < x < 3$

3. نتيجة الحل:
   $x$ ينتمي إلى الفترة $(-4, 3)$.

4. حل متباينات القيمة المطلقة من الشكل $|f(x)| > k$

تُعبر متباينة من هذا النوع عن حالة يكون فيها التعبير داخل القيمة المطلقة أكبر من مقدار ثابت $k$. ولحل مثل هذه المتباينة، يجب أن نتعامل مع حالتين مختلفتين حسب طبيعة المتباينة.

الخطوات لحل متباينة $|f(x)| > k$

نفترض أن المتباينة هي $|f(x)| > k$، حيث $k$ عدد موجب. فإن الحل يتم على النحو التالي:

1. إزالة القيمة المطلقة: نعلم أن $|f(x)| > k$ يعني أن إما:

   $$f(x) > k \quad \text{أو} \quad f(x) < -k$$

2. حل المتباينتين الناتجتين: الآن نحل المتباينتين العاديتين اللتين تمثلان الفقرتين السابقتين.

مثال 1:

لنأخذ المثال التالي لحل متباينة من هذا النوع:

$|x – 3| > 5$

1. إزالة القيمة المطلقة:
   $x – 3 > 5 \quad \text{أو} \quad x – 3 < -5$

2. حل المتباينتين:

   • $x > 5 + 3 = 8$

   • $x < -5 + 3 = -2$

3. نتيجة الحل:
   $x$ ينتمي إلى $(-\infty, -2) \cup (8, \infty)$.

مثال 2:

لنأخذ المثال التالي:

$|2x + 1| > 7$

1. إزالة القيمة المطلقة:
   $2x + 1 > 7 \quad \text{أو} \quad 2x + 1 < -7$

2. حل المتباينتين:

   • $2x > 7 – 1 = 6 \quad \Rightarrow \quad x > 3$

   • $2x < -7 - 1 = -8 \quad \Rightarrow \quad x < -4$

3. نتيجة الحل:
   $x$ ينتمي إلى $(-\infty, -4) \cup (3, \infty)$.

5. حل المتباينات التي تحتوي على معادلات أكثر تعقيداً

عندما تحتوي المتباينات على أكثر من تعبير داخل القيمة المطلقة، مثل:

$|x – 2| – |x + 3| > 4$

فإن الطريقة لحل هذه المتباينة تكون أكثر تعقيداً وتتطلب تحليل جميع الحالات الممكنة بناءً على القيم التي تجعل التعبيرات داخل القيمة المطلقة موجبة أو سالبة.

الخطوات لحل المتباينة:

1. تحليل الحالات: نحلل الحالات المختلفة لتحديد متى يكون كل تعبير داخل القيمة المطلقة موجبًا أو سالبًا.

2. حل كل حالة على حدة: نقوم بحل كل حالة باستخدام الطرق التي سبق شرحها.

3. جمع النتائج: بعد إيجاد الحلول لجميع الحالات، يتم جمع الحلول المناسبة للحصول على الحل النهائي للمتباينة.

6. الخاتمة

تُعتبر متباينات القيمة المطلقة جزءاً مهماً من الرياضيات، ويتطلب حلها فهمًا دقيقًا للقيمة المطلقة وكيفية تعاملها مع الأعداد المختلفة. من خلال التطبيقات المختلفة التي تم عرضها، يصبح من الواضح كيف أن متباينات القيمة المطلقة قد تظهر في مجموعة متنوعة من الأشكال، ولكل شكل طريقة حل خاصة به.