مسائل رياضيات

حل تعبير رياضي: القيمة الدنيا (مسألة رياضيات)

اخر تحديث 07/02/2024
0

نريد أن نجد القيمة الدنيا للتعبير التالي:
1(1−x)(1−y)(1−z)+1(1+x)(1+y)(1+z).\frac{1}{(1 – x)(1 – y)(1 – z)} + \frac{1}{(1 + x)(1 + y)(1 + z)}.

لنبدأ بحل المسألة:

مواضيع ذات صلة

من الواضح أننا بحاجة إلى استخدام فكرة العوامل المشتركة لتبسيط التعبير.

لنبدأ بالعوامل المشتركة في النوع الأول من الكسور، نجمع العوامل المشتركة ونكتب الناتج كتركيبة واحدة:
(1+x)(1+y)(1+z).(1 + x)(1 + y)(1 + z).

وفي النوع الثاني من الكسور، نفعل نفس الشيء:
(1−x)(1−y)(1−z).(1 – x)(1 – y)(1 – z).

بعد ذلك، نلاحظ أن عندما نضرب العوامل المشتركة في النوعين من الكسور معًا، فإننا نتخلص من مربعين الأقواس ونحصل على مربع واحد فقط.

لنقم بضرب العوامل المشتركة معًا:
(1+x)(1+y)(1+z)(1−x)(1−y)(1−z).(1 + x)(1 + y)(1 + z)(1 – x)(1 – y)(1 – z).

الآن، بعد أن قمنا بضرب العوامل المشتركة، يجب أن نقوم بالتبسيط والحساب.

نستخدم هنا خاصية تبسيط المنتج الجبري للعوامل المتطابقة.

وبعد الحساب، نحصل على:
[(1−x2)(1−y2)(1−z2)].[(1 – x^2)(1 – y^2)(1 – z^2)].

والآن، نحن نملك التعبير الجديد:
1(1−x)(1−y)(1−z)+1(1+x)(1+y)(1+z)=(1−x2)(1−y2)(1−z2)(1−x2)(1−y2)(1−z2).\frac{1}{(1 – x)(1 – y)(1 – z)} + \frac{1}{(1 + x)(1 + y)(1 + z)} = \frac{(1 – x^2)(1 – y^2)(1 – z^2)}{(1 – x^2)(1 – y^2)(1 – z^2)}.

تمامًا، الآن نحن نمتلك تعبيرًا بسيطًا نستطيع من خلاله فهم العمليات الحسابية بسهولة.

نرى أنه من المنطقي جداً أن القيمة الدنيا للتعبير تكون 1، حيث يكون المقام والبسط متساويين.

لذا، القيمة الدنيا للتعبير المعطى هي 1.

المزيد من المعلومات

لحل المسألة وإيجاد القيمة الدنيا للتعبير
1(1−x)(1−y)(1−z)+1(1+x)(1+y)(1+z),\frac{1}{(1 – x)(1 – y)(1 – z)} + \frac{1}{(1 + x)(1 + y)(1 + z)},
سنقوم ببعض الخطوات الإضافية لتبسيط التعبير وفهمه بشكل أفضل.

الخطوات المستخدمة في الحل:

  1. استخدام قانون العوامل المربعية:
    نستخدم قاعدة العوامل المربعية (a−b)2=a2−2ab+b2(a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 لتبسيط العوامل في الكسور.

  2. تعويض العوامل المشتركة:
    بما أن الكسور متشابهة، نقوم بتعويض العوامل المشتركة في النوعين من الكسور لتبسيط التعبير.

  3. التبسيط والإلغاء:
    نقوم بتبسيط التعبير وإلغاء العوامل المتشابهة في البسط والمقام.

  4. التعبير عن الحل:
    نحدد القيمة الدنيا للتعبير بناءً على التبسيط.

الآن، دعنا نستكشف هذه الخطوات بالتفصيل:

أولاً، نبدأ بتعويض الكسور وتبسيطها:

1(1−x)(1−y)(1−z)+1(1+x)(1+y)(1+z).\frac{1}{(1 – x)(1 – y)(1 – z)} + \frac{1}{(1 + x)(1 + y)(1 + z)}.

نستخدم قانون العوامل المربعية:

(1−x2)=(1−x)(1+x)(1 – x^2) = (1 – x)(1 + x)

(1−y2)=(1−y)(1+y)(1 – y^2) = (1 – y)(1 + y)

(1−z2)=(1−z)(1+z)(1 – z^2) = (1 – z)(1 + z)

تعويض العوامل المشتركة يعطينا:

(1+x)(1+y)(1+z)+(1−x)(1−y)(1−z)(1−x2)(1−y2)(1−z2).\frac{(1 + x)(1 + y)(1 + z) + (1 – x)(1 – y)(1 – z)}{(1 – x^2)(1 – y^2)(1 – z^2)}.

الآن نضيف البسطين:

(1+x)(1+y)(1+z)+(1−x)(1−y)(1−z)(1 + x)(1 + y)(1 + z) + (1 – x)(1 – y)(1 – z)

نستخدم الضرب الجبري لتوسيع التعبير:

&= (1 + xy + xz + yz + x + y + z + 1) \\
&+ (1 – xy – xz – yz + x – y – z + 1).\end{split}\] الآن نقوم بتبسيط التعبير:
\[2 + 2 + (xy + xz + yz – xy – xz – yz) + (x – x) + (y – y) + (z – z).\] تبسيط العوامل المتشابهة يعطينا:
\[4.\] المقام سيبقى كما هو:
\[(1 – x^2)(1 – y^2)(1 – z^2).\] أخيراً، نحدد القيمة الدنيا للتعبير:
\[\frac{4}{(1 – x^2)(1 – y^2)(1 – z^2)}.\] ومن المعلوم أنه عندما تكون العوامل في المقام والبسط متساوية، فإن القيمة النهائية هي 1.
لذا، القيمة الدنيا للتعبير هي 1.
هذه الخطوات تمثل التفاصيل الإضافية لحل المسألة وفهمها بشكل أعمق.

اخر تحديث 07/02/2024
0