حل المعادلة وتحديد القيم لجعل التعبير غير معرف (مسألة رياضيات)

المسألة تتعلق بالبحث عن قيم معينة للمتغير $y$ حيث يكون المعامل في المقام للتعبير $\frac{y+6}{y^2-5y+4}$ يساوي صفر. لتحديد هذه القيم، يتعين علينا حل المعادلة التي تكون المقام فيها تساوي الصفر.

التعبير $\frac{y+6}{y^2-5y+4}$ سيكون غير معرف عندما يكون المقام يساوي صفر، أي:

$y + 6 = 0$

نقوم بحل المعادلة أعلاه للعثور على القيمة المطلوبة لـ $y$:

$y = -6$

إذاً، القيمة الوحيدة للمتغير $y$ التي تجعل التعبير $\frac{y+6}{y^2-5y+4}$ غير معرفة هي $y = -6$. وبالتالي، يمكننا القول أن مجموع القيم التي يكون فيها التعبير غير معرف هو $-6$.

لحل هذه المسألة، نبدأ بفحص الظروف التي تجعل التعبير $\frac{y+6}{y^2-5y+4}$ غير معرف. يتم ذلك عندما يكون المقام في الكسر يساوي صفر. في هذه الحالة، المقام هو $y^2 – 5y + 4$، ونقوم بحل المعادلة التالية للعثور على القيم التي تجعل المقام يساوي صفر:

$y^2 – 5y + 4 = 0$

لحل هذه المعادلة، يمكننا استخدام قانون حل المعادلة من الدرجة الثانية. يأخذ هذا القانون الشكل العام:

$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث $a$ و $b$ و $c$ هما معاملات المعادلة التربيعية العامة $ax^2 + bx + c = 0$. في حالتنا، المعاملات هي:

$a = 1, \quad b = -5, \quad c = 4$

نستخدم هذه القيم في قانون حل المعادلة للعثور على قيم $y$:

$y = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 – 4(1)(4)}}{2(1)}$

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 – 16}}{2}$

$y = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2}$

$y = \frac{5 \pm 3}{2}$

يتضح أن هناك قيمتين لـ $y$:

$y_1 = \frac{5 + 3}{2} = 4$

$y_2 = \frac{5 – 3}{2} = 1$

إذاً، القيمتين $y = 1$ و $y = 4$ تجعلان المقام في التعبير يساوي صفر. ومع ذلك، يجب أن نتذكر أن السؤال يطلب القيم التي تجعل التعبير غير معرف، وهي القيم التي تجعل المقام يساوي صفر. لذا، الإجابة النهائية هي:

$y = 1, \quad y = 4$

وبالتالي، يكون مجموع القيم $y$ التي تجعل التعبير $\frac{y+6}{y^2-5y+4}$ غير معرف هو:

$1 + 4 = 5$

تم استخدام في هذا الحل قانون حل المعادلة من الدرجة الثانية للعثور على القيم، وتم تطبيق مفهوم الجذور التربيعية.