حل المعادلة المطلقة: مثال على مسألة التمرين (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:
العثور على أصغر قيمة لـ $x$ التي تحقق المعادلة $|3x + 7| = 26$.

الحل:
لحل هذه المعادلة، نبدأ بفصل الحالات وفحص القيمتين الممكنتين لـ $3x + 7$ و $– (3x + 7)$، حيث يكون القيمتين موجبة وسالبة على التوالي نظراً لصيغة قيمة المطلق.

1. حالة $3x + 7 = 26$:
   نقوم بحل المعادلة للحصول على قيمة $x$ في هذه الحالة.
   $3x + 7 = 26$
   $3x = 26 – 7$
   $3x = 19$
   $x = \frac{19}{3}$

2. حالة $– (3x + 7) = 26$:
   نقوم بحل المعادلة للحصول على قيمة $x$ في هذه الحالة.
   $– (3x + 7) = 26$
   $-3x – 7 = 26$
   $-3x = 26 + 7$
   $-3x = 33$
   $x = -\frac{33}{3}$
   $x = -11$

الآن، نحتاج إلى اختيار القيمة الصحيحة لـ $x$، والتي تحقق المعادلة الأصلية $|3x + 7| = 26$. القيمة الصحيحة هي تلك التي تجعل العبارة داخل القيمة المطلقة تساوي 26.

نجد أن القيمة $x = -11$ تناسب هذا الشرط.
لذا، أصغر قيمة لـ $x$ التي تحقق المعادلة هي $x = -11$.

لحل مسألة $|3x + 7| = 26$، نستخدم القوانين والمفاهيم التالية:

1. قانون قيمة المطلقة:
   قيمة مطلقة $|a|$ هي القيمة الموجبة للعدد $a$، بغض النظر عن علامة $a$. مثلاً، $|3| = 3$ و $|-3| = 3$.

2. الحالات:
   لحل المعادلة $|3x + 7| = 26$، نفكر في حالتين:

   • عندما يكون $3x + 7$ موجبًا.
   • عندما يكون $3x + 7$ سالبًا.

الآن، نقوم بحل المسألة خطوة بخطوة:

1. حالة $3x + 7$ موجبة:
   في هذه الحالة، نقوم بحل المعادلة $3x + 7 = 26$.
   $3x + 7 = 26$
   $3x = 26 – 7$
   $3x = 19$
   $x = \frac{19}{3}$

2. حالة $3x + 7$ سالبة:
   في هذه الحالة، نقوم بحل المعادلة $-(3x + 7) = 26$.
   $-(3x + 7) = 26$
   $-3x – 7 = 26$
   $-3x = 26 + 7$
   $-3x = 33$
   $x = -\frac{33}{3}$
   $x = -11$

3. التحقق من الحلول:
   نقوم بالتحقق من الحلول للتأكد من صحتها. في هذه المسألة، نحتاج إلى التحقق من أن $|3x + 7|$ يساوي 26 في الحالتين.

   • للحالة $x = \frac{19}{3}$، يكون:
     $|3(\frac{19}{3}) + 7| = |19 + 7| = |26| = 26$ يتطابق مع المطلوب.

   • للحالة $x = -11$، يكون:
     $|3(-11) + 7| = |-33 + 7| = |-26| = 26$ يتطابق مع المطلوب.

بالتالي، الحل النهائي هو $x = -11$، وهو القيمة التي تحقق المعادلة $|3x + 7| = 26$ وتكون أصغر قيمة ممكنة.