حل المعادلة الرياضية: الجذر والتحقق (مسألة رياضيات)

المعادلة: $4x \div 20 = 5 \div x$

الحل:
نبدأ بضرب كلا الطرفين في $20x$ لتجنب الكسور:
$20x \times \frac{4x}{20} = 20x \times \frac{5}{x}$

تبسيط الجهة اليسرى:
$20x \times \frac{4x}{20} = 4x^2$

تبسيط الجهة اليمنى:
$20x \times \frac{5}{x} = 20 \times 5 = 100$

لذا المعادلة تصبح:
$4x^2 = 100$

الآن نقوم بحل المعادلة من خلال جذر الطرفين:
$x^2 = \frac{100}{4} = 25$

وبالتالي:
$x = \pm \sqrt{25}$

وهنا يكون لدينا اثنان من الحلول: $x = 5$ أو $x = -5$.

لكن يجب التحقق من الحلول بإعادتها إلى المعادلة الأصلية للتأكد.

للحل $x = 5$:
$\frac{4 \times 5}{20} = \frac{5}{5} \rightarrow 1 = 1$
الحل صحيح.

للحل $x = -5$:
$\frac{4 \times -5}{20} = \frac{5}{-5} \rightarrow -1 = -1$
الحل صحيح.

بالتالي، الحلول الصحيحة هي $x = 5$ و $x = -5$.

الآن، لإيجاد مجموع جميع الحلول، نقوم بجمعهما:
$5 + (-5) = 0$

إذاً، مجموع جميع الحلول هو $0$.

لحل المسألة المعطاة، بدأنا بتوحيد المعادلة بضرب كلا الجانبين في القاسم المشترك لتفادي الكسور. هذه الخطوة تستند إلى قاعدة متساوية النسب، حيث إذا قسمت كلا الأطراف في معادلة بنفس العدد غير الصفر، فإن المعادلة لا تتغير.

بعد توحيد المعادلة، قمنا بتبسيط الطرفين للحصول على معادلة بسيطة أكثر. في هذه المرحلة، استخدمنا قانون الضرب والقسمة في حل العمليات الحسابية.

من ثم، حللنا المعادلة الناتجة باستخدام قانون جذري للتخلص من العدد المربعي. تطبيقنا لقانون الجذر هو استنتاج مباشر من قانون جذري في الجبر.

بعد الحصول على الحلول المحتملة، قمنا بالتحقق من صحة الحلول بإعادتها إلى المعادلة الأصلية. هذا الخطوة تعتمد على قاعدة التحقق من الحلول للتأكد من أن القيم المعادة تحقق المعادلة الأصلية.

أخيرًا، لإيجاد مجموع الحلول، قمنا بجمع جميع الحلول الصحيحة. هذه العملية تعتمد على قاعدة جمع الأعداد.

باختصار، استخدمنا العديد من القوانين والمفاهيم الرياضية مثل: متساوية النسب، الضرب والقسمة، الجذر، التحقق من الحلول، وجمع الأعداد في حل المسألة.