حل المعادلة الرباعية باستخدام إكمال المربع (مسألة رياضيات)

المعادلة المعطاة هي $x^2 + y^2 = 10x – 6y – 34$. لنقم بإعادة صياغتها بشكل أكثر وضوحًا:

$x^2 + y^2 – 10x + 6y + 34 = 0$

الآن، سنقوم بحساب قيمة $x+y$. للقيام بذلك، يمكننا تقديم التعبير التالي:

$x+y = (x^2 + y^2 – 10x + 6y – 34) + (10x – 6y + 34)$

نقوم بتجميع العناصر المتشابهة ونحاول تبسيط التعبير. يظهر أن الجزء الأول من المعادلة هو $(x^2 + y^2 – 10x + 6y – 34)$ والجزء الثاني هو $(10x – 6y + 34)$، لذا نقوم بجمعهما:

$x+y = x^2 + y^2 – 10x + 6y – 34 + 10x – 6y + 34$

الآن نقوم بإلغاء العناصر المتشابهة، ونجد أن العديد من العناصر تتبادل إلغاءها:

$x+y = x^2 + y^2$

الآن، نعلم أن $x^2 + y^2 = 10x – 6y – 34$ والتي هي المعادلة الأصلية. لذلك، يمكننا استخدام هذه المعادلة بدلاً من $x^2 + y^2$ في التعبير أعلاه:

$x+y = 10x – 6y – 34$

الخطوة الأخيرة هي إعادة ترتيب العناصر للحصول على تعبير نهائي:

$x+y = 10x – 6y – 34$

هذا هو الحل النهائي للمسألة، حيث أن $x+y$ يتساوى مع $10x – 6y – 34$.

لحل المعادلة الرباعية $x^2 + y^2 – 10x + 6y – 34 = 0$ والعثور على قيمة $x+y$، سنقوم بالتحليل بخطوات أكثر تفصيلاً. سنعتمد على استخدام بعض القوانين الجبرية والخصائص الرياضية لتبسيط العبارات وحل المعادلة.

الخطوة 1: إعادة صياغة المعادلة
نبدأ بإعادة صياغة المعادلة بشكل قياسي:
$x^2 + y^2 – 10x + 6y – 34 = 0$

الخطوة 2: إكمال مربع الثنائيات
نقوم بإكمال مربع الثنائيات للأجزاء المتعلقة بـ $x$ و $y$. هذا يتم عن طريق إضافة وتحويل بعض الأعضاء:
$x^2 – 10x + y^2 + 6y = 34$

لإكمال مربع الثنائيات لـ $x$، نقوم بإضافة $(10/2)^2 = 25$، ولـ $y$، نقوم بإضافة $(6/2)^2 = 9$:
$x^2 – 10x + 25 + y^2 + 6y + 9 = 34$

الآن، نقوم بتجميع الأعضاء المشابهة:
$(x – 5)^2 + (y + 3)^2 = 34$

الخطوة 3: تحديد قيم $x$ و $y$
نحدد قيم $x$ و $y$ باستخدام الناتج من الخطوة السابقة:
$(x – 5)^2 + (y + 3)^2 = 34$

يمكننا ملاحظة أن هذه المعادلة تمثل دائرة في المستوى الكارتيزي. لاحظ أننا لم نطلب حلاً عدديًا في السؤال، لكن يمكننا استخدام بعض الخصائص الجبرية للتحقق من قيم $x$ و $y$.

الخطوة 4: حساب قيمة $x+y$
نحسب قيمة $x+y$ باستخدام المعادلة الأصلية:
$x+y = 10x – 6y – 34$

الخطوة 5: الختام
باستخدام الخطوات السابقة، وباستخدام القوانين الجبرية مثل إكمال مربع الثنائيات والتعامل مع المعادلات الرباعية، وصلنا إلى النتيجة النهائية. يمكننا الآن استنتاج قيمة $x+y$ بناءً على المعادلة النهائية التي حصلنا عليها.