حل المعادلة الخطية باستخدام الكسور (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية هي:

نريد حل المعادلة التالية:
$\frac{1}{2} + \frac{1}{x} = \frac{5}{6}$

لحل هذه المعادلة، نقوم بالخطوات التالية:

نبدأ بطرح $\frac{1}{2}$ من الطرفين للحصول على معادلة بمحور $x$ معزولًا:
$\frac{1}{x} = \frac{5}{6} – \frac{1}{2}$

نقوم بحساب الفرق بين الكسور في الجزء الأيمن من المعادلة:
$\frac{5}{6} – \frac{1}{2} = \frac{5}{6} – \frac{3}{6} = \frac{2}{6}$

ثم نقوم بتبسيط الكسر إلى أبسط صورة عن طريق قسمة البسط على المقام:
$\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

الآن نعيد كتابة المعادلة بشكل مبسط:
$\frac{1}{x} = \frac{1}{3}$

نريد الآن التخلص من الكسر، وذلك بتضريب الطرفين في المعادلة بـ$x$ و$3$ على التوالي للقضاء على الكسر:
$x \times \frac{1}{x} = x \times \frac{1}{3}$

الآن، نلاحظ أن $x$ مضروبٌ في $\frac{1}{x}$ يُعطي 1، لذا يبقى $x$ من جهة اليسار، ونحصل على:
$1 = \frac{x}{3}$

لحل هذه المعادلة، نقوم بضرب الطرفين في 3:
$3 \times 1 = 3 \times \frac{x}{3}$

وبذلك نحصل على قيمة $x$:
$3 = x$

إذاً، الحل للمعادلة هو $x = 3$.

لحل المعادلة $\frac{1}{2} + \frac{1}{x} = \frac{5}{6}$ بشكل مفصل، نستخدم القوانين الأساسية لحساب الكسور وحل المعادلات.

القوانين المستخدمة:

1. جمع وطرح الكسور: نستخدم هذه العملية لجمع وطرح الكسور عندما يكون لدينا أكثر من كسر في المعادلة.
2. ضرب الطرفين في نفس العدد أو الكسر: يمكننا ضرب الطرفين في نفس العدد أو الكسر دون تغيير قيمة المعادلة.
3. تبسيط الكسور: نستخدم هذه العملية لتبسيط الكسور إلى صورة مبسطة تسهل الحساب.
4. حل المعادلات الخطية: نستخدم هذه الطريقة لحساب قيمة المتغيرات في المعادلات التي تحتوي على متغيرات في الأسس الأولى.

الآن، نبدأ في حل المعادلة:

نعيد كتابة المعادلة:
$\frac{1}{2} + \frac{1}{x} = \frac{5}{6}$

نبدأ بجمع الكسور في الجانب الأيمن من المعادلة، حيث نقوم بتوحيد المقامات:
$\frac{1}{2} + \frac{1}{x} = \frac{5}{6}$
$\frac{1}{x} = \frac{5}{6} – \frac{1}{2}$

الآن نقوم بحساب فرق الكسور في الجانب الأيمن من المعادلة:
$\frac{5}{6} – \frac{1}{2} = \frac{5}{6} – \frac{3}{6} = \frac{2}{6}$

ثم نقوم بتبسيط الكسر إلى صورة مبسطة:
$\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

المعادلة الجديدة بعد التبسيط:
$\frac{1}{x} = \frac{1}{3}$

الآن، نريد التخلص من الكسر في الجانب الأيمن من المعادلة. لذلك، نضرب الطرفين في المعادلة بـ$x$ و$3$ للقضاء على الكسر:
$x \times \frac{1}{x} = x \times \frac{1}{3}$

وبعد الضرب، نحصل على:
$1 = \frac{x}{3}$

لحل هذه المعادلة، نقوم بضرب الطرفين في 3:
$3 \times 1 = 3 \times \frac{x}{3}$

وبذلك، نحصل على:
$3 = x$

إذاً، الحل للمعادلة هو $x = 3$.