حل المعادلة الخطية المودية (مسألة رياضيات)

نريد إيجاد قيمة $n$ التي تحقق التعادل التالي:
$11n \equiv 7 \pmod{43}$

لحل هذه المعادلة، نحاول العثور على $n$ المناسبة. يمكننا بدايةً توسيع الطرف الأيسر من المعادلة بواسطة الضرب في العنصر المعكوس لـ $11$ في حساب القسمة المتعلقة بالقسمة الباقية على $43$.

العنصر المعكوس لـ $11$ في نطاق القسمة بالباقي على $43$ يمكن تحديده باستخدام خوارزمية القسمة الموسعة أو بملاحظة أن $11 \times 4 \equiv 1 \pmod{43}$. لذا، العنصر المعكوس لـ $11$ هو $4$.

الآن، نقوم بضرب الطرفين في $4$:
$4 \times 11n \equiv 4 \times 7 \pmod{43}$
$44n \equiv 28 \pmod{43}$

من هنا، نحاول تبسيط المعادلة بتخفيض الأعداد إلى قيمة أصغر. ونعرف أن $44 \equiv 1 \pmod{43}$، لذا يمكننا استبدال $44$ بـ $1$ دون تغيير القيمة:
$n \equiv 28 \pmod{43}$

الآن، للعثور على $n$ داخل النطاق المحدد من $0$ إلى $42$، نقوم بقسم $28$ على $43$:
$28 \div 43 \approx 0.651$

المعادلة تشير إلى أن قيمة $n$ تكون متممتها الى $28$ تحت النظام المعطى للموديولو $43$.
لذا، القيمة المناسبة لـ $n$ هي الفارق بين $28$ والمضاعف الأقرب لـ $43$:
$n \equiv 15 \pmod{43}$

إذاً، القيمة التي تحقق المعادلة المعطاة هي $15$.

لحل المعادلة التربيعية $11n \equiv 7 \pmod{43}$، استخدمنا عدة خطوات وقوانين من الجبر الخطي والحساب المودولاري. هذه هي التفاصيل الدقيقة لحل المسألة:

1. استخدام القاعدة الأساسية للتحويل الى المعادلة المعادلة المتكافئة:
   نريد حل معادلة خطية تحت النظام الموديولو $43$، لذا نستخدم العلامة “$\equiv$” للإشارة إلى المتكافئ.

2. العثور على العنصر المعكوس:
   نحتاج إلى العثور على العنصر المعكوس لـ $11$ في النظام الموديولو $43$، والذي يمكننا استخدامه للضرب في كلا الجانبين من المعادلة للتخلص من الضرب في $11$.

3. استخدام خوارزمية القسمة الموسعة أو الملاحظة البسيطة:
   نستخدم خوارزمية القسمة الموسعة للعثور على العنصر المعكوس لـ $11$ في النظام الموديولو $43$، أو نلاحظ أن $11 \times 4 \equiv 1 \pmod{43}$، لذا $4$ هو العنصر المعكوس.

4. ضرب كلا الجانبين بالعنصر المعكوس:
   بعد العثور على العنصر المعكوس، نضرب كلا الجانبين من المعادلة بالعنصر المعكوس لـ $11$.

5. تبسيط المعادلة:
   بعد الضرب، نحاول تبسيط المعادلة والتخلص من العوامل غير المرغوب فيها.

6. حساب القيمة المناسبة:
   بعد ذلك، نقوم بحساب القيمة المناسبة لـ $n$ في النظام الموديولو $43$.

7. تحديد الحل النهائي:
   نقوم بتحديد الحل النهائي للمعادلة، والذي يكون في النطاق المحدد من $0$ إلى $42$.

باستخدام هذه الخطوات والقوانين، نتمكن من حل المعادلة والعثور على القيمة المناسبة لـ $n$ في النظام الموديولو $43$، والتي هي $15$.