حل المعادلة التربيعية بالقسمة العددية (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:
“حدد أصغر قيمة صحيحة إيجابية للمتغير $x$ بحيث تكون $(2x)^2 + 2 \cdot 37 \cdot 2x + 37^2$ قابلة للقسمة على 47.”

الحل:
لنقم بتوسيع التعبير $(2x)^2 + 2 \cdot 37 \cdot 2x + 37^2$ ونراعي قابليته للقسمة على 47. لنقم بحساب الجزء الأول من التعبير، وهو $(2x)^2$، حيث يكون هذا التعبير يساوي $4x^2$. بالنظر إلى الجزء الثاني، وهو $2 \cdot 37 \cdot 2x$، يمكننا تبسيطه إلى $148x$. أما الجزء الأخير $37^2$، فيكون يساوي 1369.

لدينا الآن التعبير التالي: $4x^2 + 148x + 1369$. لكي يكون هذا التعبير قابلًا للقسمة على 47، يجب أن يكون متغير السيطرة ($x$) يحقق باقيًا صفريًا عند القسمة على 47. لذا، سنقوم بكتابة المعادلة:

$4x^2 + 148x + 1369 \equiv 0 \pmod{47}$

لحل هذه المعادلة، سنستخدم القاعدة العامة للمتبقيات في الجبر العددي. يمكننا تقسيم كل جزء في المعادلة على 47:

$4x^2 \equiv -148x – 1369 \pmod{47}$

نقوم بتبسيط الجهة اليمنى:

$4x^2 \equiv -3x – 3 \pmod{47}$

الآن، نقوم بضرب كل جانب في $12x$ للتخلص من المتغير في الجهة اليمنى:

$48x^2 \equiv -36x – 36 \pmod{47}$

وباستخدام الخاصية المهمة للمتبقيات (إذا كانت $a \equiv b \pmod{m}$، فإن $ka \equiv kb \pmod{m}$)، نقوم بقسم كل جانب على 4:

$12x^2 \equiv -9x – 9 \pmod{47}$

الآن، نقوم بإضافة $9x + 9$ إلى كل جانب:

$12x^2 + 9x + 9 \equiv 0 \pmod{47}$

تبدأ المعادلة الآن في أخذ شكل عام ممتع، وهو:

$(2x + 3)^2 \equiv 0 \pmod{47}$

الآن نقارنها مع الصيغة العامة للتربيع ($a^2 \equiv 0 \pmod{m}$ إذا كان $a \equiv 0 \pmod{m}$)، ونجد أن:

$2x + 3 \equiv 0 \pmod{47}$

نقوم بحل هذه المعادلة الخطية:

$2x \equiv -3 \pmod{47}$

لحساب العكس المتعلق بالقسمة على 2، نستخدم العدد 24 لأن $2 \times 24 \equiv 1 \pmod{47}$. نقوم بضرب كل جانب في 24:

$x \equiv -3 \times 24 \pmod{47}$

نقوم بحساب الناتج:

$x \equiv -72 \pmod{47}$

وبمراعاة قاعدة القسمة على 47:

$x \equiv -25 \pmod{47}$

وأخيرًا، للحصول على أصغر قيمة إيجابية، نقوم بإضافة 47:

$x \equiv 22 \pmod{47}$

إذا كانت القيمة الصحيحة لـ $x$ هي 22.

بالطبع، دعونا نقوم بحل المسألة بتفصيل أكبر، مع الإشارة إلى القوانين التي تم استخدامها في الحل.

المسألة الرياضية:

“حدد أصغر قيمة صحيحة إيجابية للمتغير $x$ بحيث تكون $(2x)^2 + 2 \cdot 37 \cdot 2x + 37^2$ قابلة للقسمة على 47.”

الحل:

1. توسيع التعبير:
   نقوم بتوسيع التعبير $(2x)^2 + 2 \cdot 37 \cdot 2x + 37^2$ للحصول على $4x^2 + 148x + 1369$.

2. قابلية القسمة:
   للتحقق مما إذا كان التعبير قابلًا للقسمة على 47، نقوم بكتابة المعادلة التالية: $4x^2 + 148x + 1369 \equiv 0 \pmod{47}$.

3. تبسيط المعادلة:
   نقوم بتبسيط الجهة اليمنى لتصبح $4x^2 \equiv -3x – 3 \pmod{47}$.

4. ضرب الجهة اليمنى بعكس 12:
   نضرب كل جانب في المعادلة بعكس 12 (العدد الذي يجعل المضاعف المقابل للمتغير 1): $48x^2 \equiv -36x – 36 \pmod{47}$.

5. تبسيط مرة أخرى:
   نحصل على $12x^2 \equiv -9x – 9 \pmod{47}$.

6. إضافة $9x + 9$:
   نقوم بإضافة $9x + 9$ إلى كل جانب للحصول على $12x^2 + 9x + 9 \equiv 0 \pmod{47}$.

7. التعويض:
   نقوم بتعويض بتعريف مربع كامل $(2x + 3)^2$ لتحويل المعادلة إلى الصيغة العامة للمربع: $(2x + 3)^2 \equiv 0 \pmod{47}$.

8. الحل النهائي:
   نقارن هذا مع صيغة تمثيل متبقيات المربع: $a^2 \equiv 0 \pmod{m}$ إذا كان $a \equiv 0 \pmod{m}$. ونحصل على $2x + 3 \equiv 0 \pmod{47}$.

9. حل المعادلة الخطية:
   نقوم بحل المعادلة $2x \equiv -3 \pmod{47}$ باستخدام العكس المتعلق بالقسمة على 2.

10. حساب الناتج:
    نحصل على $x \equiv -25 \pmod{47}$.

11. القيمة الصحيحة الأصغر:
    نقوم بإضافة 47 للحصول على أصغر قيمة إيجابية، ونحصل على $x \equiv 22 \pmod{47}$.

القوانين المستخدمة:

1. قاعدة القسمة على $m$:
   إذا كان $a \equiv b \pmod{m}$، فإن $ka \equiv kb \pmod{m}$.

2. صيغة التربيع:
   إذا كان $a^2 \equiv 0 \pmod{m}$، فإن $a \equiv 0 \pmod{m}$.

3. القوانين الأساسية للمتبقيات:
   تتضمن جمع المتبقيات وضربها، وتبسيط المعادلات باستخدام القوانين الجبرية.

4. العكس المتعلق بالقسمة على 2:
   إذا كان $2k \equiv 1 \pmod{m}$، فإن $k$ هو العكس المتعلق بالقسمة على 2.

هذه القوانين تُستخدم لتحل المعادلات الخطية والتأكد من قابلية الأعداد للقسمة على أخرى.