حل المعادلة الأسية: قاعدات وتوحيد (مسألة رياضيات)

إذا كانت المعادلة التالية صحيحة: $13^{3n}=\left(\frac{1}{13}\right)^{n-24}$، فلنقم بحساب قيمة $n$.

لنبدأ بتوحيد قواعد الأسس على الجهتين من المعادلة. نعلم أن $a^{-b} = \frac{1}{a^b}$، لذا يمكننا تحويل الجهة اليمنى من المعادلة كما يلي:

$13^{3n} = \frac{1}{13^{n-24}}$

الآن، نقوم بمضاعفة معادلتين ذات أسس متساوية للوصول إلى المعادلة النهائية. نعلم أنه إذا كانت $a^{m} = a^{n}$، فإن $m = n$، لذا:

$3n = n – 24$

نقوم بحساب قيمة $n$ عن طريق جمع $24$ في الجهة اليمنى:

$3n – n = -24$

$2n = -24$

نقوم بقسمة الجهة اليمنى على $2$ للوصول إلى قيمة $n$:

$n = -12$

إذاً، قيمة $n$ التي تحقق المعادلة هي $-12$.

لنقم بحل المعادلة $13^{3n}=\left(\frac{1}{13}\right)^{n-24}$ بتفصيل أكبر، وسنستخدم القوانين الأساسية للأسس في هذا الحل.

المعادلة المعطاة هي:
$13^{3n}=\left(\frac{1}{13}\right)^{n-24}$

لحل هذه المعادلة، يجب توحيد قواعد الأسس على الجانبين. نعلم أن $a^{-b} = \frac{1}{a^b}$، لذلك يمكننا تحويل الجهة اليمنى كالتالي:
$13^{3n} = \frac{1}{13^{n-24}}$

الآن، لدينا قواعد أسس موحدة. لحساب قيمة $n$، نستخدم القاعدة التي تقول إنه إذا كانت $a^m = a^n$، فإن $m = n$، وبالتالي:
$3n = n – 24$

نقوم بطرح $n$ من الطرفين للتوحيد:
$2n = -24$

ثم نقوم بقسمة الطرفين على $2$ للحصول على قيمة $n$:
$n = -12$

إذاً، قيمة $n$ التي تحقق المعادلة هي $-12$.

القوانين المستخدمة:

1. $a^{-b} = \frac{1}{a^b}$: قاعدة تحويل الأس الموجب إلى أس سالب.
2. إذا كانت $a^m = a^n$، فإن $m = n$: قاعدة تساوي الأسس عندما يكون قاعدتها متساوية.