حل المعادلات وحساب التعبيرات الرياضية (مسألة رياضيات)

إذا كانت $a$ تحقق المعادلة $4 = a + a^{-1}$، فما هو قيمة التعبير $a^4 + a^{-4}$؟

لحل هذه المسألة، يمكننا أولاً حساب التربيع للمعادلة الأصلية:

$4 = a + a^{-1}$

نضرب الطرفين في المعادلة في $a$:

$4a = a^2 + 1$

ثم نقوم بترتيب المعادلة الناتجة بطرح $4a$ من الطرفين:

$a^2 – 4a + 1 = 0$

الآن، يمكننا حساب قيم $a$ باستخدام الصيغة العامة لحل المعادلة من الدرجة الثانية:

$a = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

$a = \frac{4 \pm \sqrt{16 – 4}}{2}$

$a = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2}$

$a = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2}$

$a = 2 \pm \sqrt{3}$

إذا كانت قيم $a$ هي $2 + \sqrt{3}$ أو $2 – \sqrt{3}$، يمكننا الآن حساب $a^4 + a^{-4}$.

لحساب هذا التعبير، يمكننا استخدام صيغة التوسيع لقاعدة القوة الرابعة:

$a^4 + a^{-4} = (a^2)^2 + (a^{-2})^2 – 2$

نعلم أن:

$a^2 = (2 \pm \sqrt{3})^2 = 7 \pm 4\sqrt{3}$

و

$a^{-2} = \frac{1}{a^2}$

$a^{-2} = \frac{1}{7 \pm 4\sqrt{3}}$

$a^{-2} = \frac{7 \mp 4\sqrt{3}}{13}$

وبعد ذلك، يمكننا حساب $a^4 + a^{-4}$ باستخدام القيم المحسوبة:

$a^4 + a^{-4} = (7 \pm 4\sqrt{3})^2 + \frac{(7 \mp 4\sqrt{3})^2}{13} – 2$

$a^4 + a^{-4} = 49 \pm 56\sqrt{3} + 48 + \frac{49 \mp 56\sqrt{3}}{13} – 2$

$a^4 + a^{-4} = 97 + \frac{49 \mp 56\sqrt{3}}{13} – 2$

$a^4 + a^{-4} = 95 + \frac{49 \mp 56\sqrt{3}}{13}$

إذاً، قيمة $a^4 + a^{-4}$ هي $95 + \frac{49 + 56\sqrt{3}}{13}$ إذا كانت $a$ تساوي $2 + \sqrt{3}$، وهي $95 + \frac{49 – 56\sqrt{3}}{13}$ إذا كانت $a$ تساوي $2 – \sqrt{3}$.

بالطبع، دعونا نقوم بتوضيح الحل بمزيد من التفاصيل، مستخدمين القوانين الرياضية المناسبة.

المعطيات:
$4 = a + a^{-1}$

نريد حساب قيمة التعبير:
$a^4 + a^{-4}$

الخطوة 1: حساب قيم $a$

نعلم أن:
$a^2 – 4a + 1 = 0$

ونستخدم الصيغة العامة لحل المعادلة من الدرجة الثانية:
$a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث:
$a = 1, \, b = -4, \, c = 1$

$a = \frac{4 \pm \sqrt{16 – 4}}{2}$

$a = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2}$

$a = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2}$

$a = 2 \pm \sqrt{3}$

الخطوة 2: حساب $a^4 + a^{-4}$

نستخدم قاعدة التوسيع لقوة الرابعة:
$a^4 + a^{-4} = (a^2)^2 + (a^{-2})^2 – 2$

القيم:
$a^2 = (2 \pm \sqrt{3})^2 = 7 \pm 4\sqrt{3}$

$a^{-2} = \frac{1}{a^2}$

$a^{-2} = \frac{1}{7 \pm 4\sqrt{3}}$

$a^{-2} = \frac{7 \mp 4\sqrt{3}}{13}$

والآن نستخدم هذه القيم في حساب $a^4 + a^{-4}$:

$a^4 + a^{-4} = (7 \pm 4\sqrt{3})^2 + \frac{(7 \mp 4\sqrt{3})^2}{13} – 2$

الخطوة 3: تبسيط التعبير

$a^4 + a^{-4} = 97 + \frac{49 \mp 56\sqrt{3}}{13}$

إذاً، قيمة $a^4 + a^{-4}$ هي $95 + \frac{49 + 56\sqrt{3}}{13}$ إذا كانت $a$ تساوي $2 + \sqrt{3}$، وهي $95 + \frac{49 – 56\sqrt{3}}{13}$ إذا كانت $a$ تساوي $2 – \sqrt{3}$.

القوانين المستخدمة:

1. حساب القيم باستخدام صيغة التوسيع لقاعدة القوة الرابعة.
2. حل المعادلة من الدرجة الثانية باستخدام الصيغة العامة.