حل المعادلات وبناء المتعددات (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية التي نريد حلها تتعلق بإيجاد العبارة الجبرية للمتعددة، بالنسبة ل $x$، والتي تمثل جذور متعوِّضة والتي يكون كل منها مضاعفًا لجذور معادلة معينة.

المتعددة التي نريدها تكون منتظمة الدرجة، ويشترط أن تكون الجذور المضاعفة هي النتائج المتعلقة بمعادلة محددة.

المعادلة التي نحتاج إلى تحليلها هي $x^3 – 3x^2 + 8 = 0$.

أولاً، لنجد الجذور لهذه المعادلة. يمكننا استخدام الطريقة العامة لحل المعادلات الكوبية، والتي يُعبر عنها بمساعدة معادلة كوارية.

نقوم بإيجاد العبارة المتعددة من الدرجة الثالثة باستخدام العلاقة بين جذور المتعددة ومعاملاتها. إذا كانت $r_1$ و $r_2$ و $r_3$ هي جذور المتعددة، فإن العبارة المتعددة هي:

$(x – r_1)(x – r_2)(x – r_3) = 0$

ونحن نعلم أنه يمكن كتابة المعادلة بشكل متناظر مع جذورها:

$(x – 2r_1)(x – 2r_2)(x – 2r_3) = 0$

حيث $2r_1$ و $2r_2$ و $2r_3$ هي الجذور المضاعفة التي نبحث عنها.

الآن، يمكننا بسهولة ملاحظة العلاقة بين معاملات العبارة المتعددة وجذور المعادلة:

1. للدرجة الثانية: $– (r_1 + r_2 + r_3) = -(-3) = 3$.
2. للدرجة الأولى: $r_1r_2 + r_1r_3 + r_2r_3 = 0$.
3. للدرجة الصفرية: $-r_1r_2r_3 = -8$.

وبالتالي، عبارة المتعددة التي نبحث عنها هي:

$x^3 – (3)(2x^2) + (0)(4x) – (-8)(8) = x^3 – 6x^2 – 8 = 0$

وهذه هي العبارة المتعددة المطلوبة.

لحل المسألة وإيجاد العبارة المتعددة المطلوبة، نحتاج إلى استخدام بعض القوانين والمفاهيم الأساسية في الجبر وحل المعادلات. سنقوم بتوضيح الخطوات بالتفصيل وذكر القوانين المستخدمة:

1. معادلة كوبية: المسألة تقترح معادلة كوبية في شكل $x^3 – 3x^2 + 8 = 0$. نحتاج إلى حساب جذور هذه المعادلة.

2. قوانين في الجبر:

   • قانون الجمع والطرح في الأعداد السالبة والموجبة: يستخدم هذا القانون في حساب قيم المعاملات.
   • قانون ضرب الجذور: عند ضرب جذر بعدد، يتضاعف الجذر.
   • متعددات الجذور: إذا كانت $r_1, r_2, r_3$ جذور معادلة كوبية، فإن المتعددة المتناظرة معها تكون بالشكل: $(x – r_1)(x – r_2)(x – r_3) = 0$.

3. العمليات الجبرية الأساسية: جمع وضرب المعاملات.

الآن، سنقوم بتطبيق هذه القوانين على المسألة:

أولاً، سنجد جذور المعادلة $x^3 – 3x^2 + 8 = 0$. يمكن استخدام طرق مثل طريقة حل المعادلات الكوبية أو البحث عن جذور الدالة بطريقة التجريب والخطأ.

بعد حساب الجذور، نستخدم القانون المذكور لبناء المتعددة المتناظرة مع الجذور. هذه المتعددة ستكون من الشكل: $(x – r_1)(x – r_2)(x – r_3) = 0$.

ثم، نضرب كل جذر في المتعددة بـ 2 للحصول على الجذور المطلوبة التي هي ضعف جذور المعادلة الأصلية.

أخيرًا، نقوم بالتعويض في العبارة المتعددة المتناظرة مع الجذور المضاعفة ونجمع ونضرب المعاملات للحصول على العبارة المطلوبة.

هذا الحل يستند على مفاهيم الجبر الأساسية والقوانين الجبرية الأساسية لحل المعادلات وبناء المتعددات.