حل المعادلات بإكمال المربع (مسألة رياضيات)

عندما يكمل سكوت المربع على المعادلة التربيعية $x^2 + 8x – 1 = 0$, يحصل على معادلة بالصيغة $(x + a)^2 = b$. ما قيمة $b$؟

لنقم بحساب المعادلة التربيعية باستخدام طريقة اكمال المربع:

المعادلة الأصلية: $x^2 + 8x – 1 = 0$

نريد أن نكمل المربع بإضافة ما يكفي للمعادلة لتصبح عبارة عن مربع تام، مع الاحتفاظ بنفس القيمة. لنقم بهذه الخطوات:

1. نقوم بإضافة مربع نصف معامل $x$ وهو $(8/2)^2 = 16$.
2. تحتاج لطرح 16 من الطرفين للمحافظة على توازن المعادلة.

إذاً، نكتب المعادلة الجديدة بعد اكمال المربع كالتالي:

الآن، نقوم بتجميع الأعضاء المتشابهة:

هكذا، بعد اكمال المربع، أصبح لدينا معادلة بالصيغة $(x + 4)^2 = 17$.

بالتالي، القيمة $b$ في المعادلة $(x + a)^2 = b$ هي 17.

لحل المسألة واكتمال المربع في المعادلة التربيعية $x^2 + 8x – 1 = 0$، نحتاج إلى اتباع خطوات محددة واستخدام بعض القوانين الرياضية المهمة. إليك الخطوات مع التفاصيل والقوانين المستخدمة:

1. مراجعة المعادلة الأصلية:
   المعادلة التربيعية الأصلية هي $x^2 + 8x – 1 = 0$.

2. اكمال المربع:
   نريد تحويل المعادلة إلى صيغة مربع تام، وذلك عن طريق إضافة ما يكفي لإتمام المربع.

3. استخدام قاعدة اكمال المربع:
   إذا كانت المعادلة بصيغة $ax^2 + bx + c = 0$، فإن قاعدة اكمال المربع تقول إنه عندما نقوم بإضافة $(b/2)^2$ إلى كلاً من الطرفين، نحصل على مربع تام.

4. توازن المعادلة:
   يجب أن نحافظ على توازن المعادلة عند إضافة أو طرح الأعداد.

5. حل المعادلة المكملة:
   بعد اكتمال المربع، يمكننا حل المعادلة المكملة بسهولة للعثور على القيم المطلوبة.

بالتالي، تطبيق هذه الخطوات على المعادلة الأصلية يساعدنا في الحصول على المعادلة المكملة $(x + 4)^2 = 17$، حيث تكون قيمة $b$ تساوي 17.

هذه الخطوات مهمة لفهم وحل المعادلات التربيعية بإكمال المربع، وهي تقنية مهمة في الجبر لحل مجموعة متنوعة من المسائل الرياضية.