حل المعادلات المركبة باستخدام القيم المطلقة (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:
ما هو القيمة الإيجابية لـ $t$ التي تحقق المعادلة $|6 + ti| = 10$؟

حل المسألة:
لحل هذه المسألة، سنستخدم خاصية القيم المطلقة والتعامل مع الأعداد المركبة بشكل مناسب.

المعادلة $|6 + ti| = 10$ تعني أن المسافة بين $6 + ti$ والصفر في السطح الحقيقي المركب يساوي 10.

العبارة $|6 + ti| = 10$ يمكن تفسيرها بأن مربع المسافة بين $6 + ti$ والصفر يساوي $10^2$.

لذا، يمكننا كتابة المعادلة التالية:

$(6 + ti)(6 – ti) = 10^2$

حيث أن $(6 + ti)(6 – ti)$ يمثل الناتج الناتج عن ضرب متجهين (باستخدام خاصية فارغاس)، ويكون التعبير بشكل مبسط:

$36 – (ti)^2 = 100$

الآن، لدينا معادلة بسيطة يمكن حلها. نعوض $ti$ بـ $t^2$ ونحل للحصول على القيمة المطلوبة.

$36 – t^2 = 100$

نقوم بطرح 36 من الجانبين:

$- t^2 = 100 – 36$

$- t^2 = 64$

نقوم بضرب المعادلة بـ -1 للتخلص من القيمة السالبة:

$t^2 = -64$

لكن هذا لا يمكنه أن يحدث في الأعداد الحقيقية، لذا لا يوجد حل لهذه المعادلة في الأعداد الحقيقية.

ولكن في الأعداد المركبة، يمكن كتابة $-64$ على شكل $64i^2$.

وعليه، يمكن كتابة $t^2 = -64$ كـ $t^2 = 64i^2$.

نأخذ الجذر التربيعي للجانبين:

$t = \pm 8i$

نظرًا لأننا نبحث عن القيمة الإيجابية لـ $t$، فإننا نختار $t = 8i$.

إذاً، القيمة الإيجابية لـ $t$ التي تحقق المعادلة هي $t = 8$.

لحل المسألة المعطاة، سنقوم بتطبيق مجموعة من الخطوات والقوانين الرياضية المهمة. هذه القوانين تشمل:

1. خاصية القيم المطلقة: حيث أن $|z|$ تمثل المسافة بين $z$ والصفر على السطح الحقيقي المركب.
2. خاصية الضرب في مجموعة الأعداد المركبة: يمكن تطبيق القوانين الرياضية المعتادة على الأعداد المركبة، مثل قانون الضرب.
3. تعريف الأعداد المركبة: حيث أن $i$ هو الوحدة الخيالية، والتي تمثل الجذر التربيعي للعدد $-1$.

الآن، سنقوم بتفصيل الحل:

نبدأ بتطبيق خاصية القيم المطلقة على المعادلة المعطاة:

$|6 + ti| = 10$

هذه المعادلة تعني أن المسافة بين $6 + ti$ والصفر في السطح الحقيقي المركب تساوي 10.

لذا، يمكننا كتابة المعادلة التالية باستخدام خاصية القيم المطلقة:

$(6 + ti)(6 – ti) = 10^2$

الآن، نقوم بحساب الضرب للحصول على معادلة جديدة:

$36 – (ti)^2 = 100$

نقوم بتبسيط المعادلة:

$36 – t^2i^2 = 100$

لكن نعلم أن $i^2 = -1$، لذا يمكننا استبدال $i^2$ بـ $-1$:

$36 – (-t^2) = 100$

نقوم بتبسيط المعادلة مرة أخرى:

$36 + t^2 = 100$

تصبح المعادلة:

$t^2 = 100 – 36$

$t^2 = 64$

الآن، نقوم بأخذ الجذر التربيعي للجانبين:

$t = \pm \sqrt{64}$

وبما أننا نبحث عن القيمة الإيجابية، فإننا نختار $t = \sqrt{64} = 8$.

إذاً، القيمة الإيجابية لـ $t$ التي تحقق المعادلة هي $t = 8$.

وبهذا، نكون قد حللنا المسألة باستخدام القوانين المذكورة أعلاه والخطوات الرياضية المنطقية.