حل المعادلات اللوغاريتمية للعثور على القوة المجهولة

المعطيات:
$n = 2^{0.15}$ و $(n^b) = 8$

المطلوب:
إيجاد قيمة $b$

الحل:
نبدأ بحساب قيمة $n$، حيث $n = 2^{0.15}$.

$n = 2^{0.15} \approx 1.16498$

الآن نعلم أن $(n^b) = 8$. نستخدم اللوغاريتم الطبيعي لحساب قيمة $b$.

$\ln(n^b) = \ln(8)$

نستخدم قاعدة اللوغاريتم لنجعل $b$ متغيرًا مستقلا:

$b \cdot \ln(n) = \ln(8)$

الآن نستخدم القيم التي حسبناها سابقًا:

$b \cdot \ln(1.16498) = \ln(8)$

نقوم بحساب قيمة $\ln(1.16498)$ وقيمة $\ln(8)$، ثم نحسب قيمة $b$:

$b \cdot 0.15385 = 2.07944$

الآن نحسب قيمة $b$:

$b = \frac{2.07944}{0.15385} \approx 13.497$

إذًا، قيمة $b$ تكون حوالي 13.497.

لحل المسألة، نستخدم اللوغاريتمات والقوانين المتعلقة بها. إليك الحل بتفصيل أكبر:

المعطيات:
$n = 2^{0.15}$ و $(n^b) = 8$

1. حساب قيمة $n$:
   $n = 2^{0.15}$

   يتم حساب القيمة باستخدام القاعدة الأسية. هنا يكون $n$ حوالي 1.16498.

2. تطبيق اللوغاريتم:
   نعلم أن $(n^b) = 8$. لحل معادلة الأس في $n^b$، نستخدم اللوغاريتم الطبيعي $\ln$.

   يمكن كتابة المعادلة كالتالي:
   $b \cdot \ln(n) = \ln(8)$

3. استخدام القوانين اللوغاريتمية:
   نستخدم قاعدة اللوغاريتم لتبسيط المعادلة:
   $\ln(n^b) = \ln(8)$
   $b \cdot \ln(n) = \ln(8)$

4. حساب قيمة $b$:
   نقوم بحساب قيمة $\ln(n)$ و $\ln(8)$ ثم نستخدمها لحساب قيمة $b$.

   $b \cdot \ln(1.16498) = 2.07944$

   حيث $\ln(1.16498)$ تقريباً يكون حوالي 0.15385.

   $b \cdot 0.15385 = 2.07944$

   ثم نقوم بحساب قيمة $b$:
   $b = \frac{2.07944}{0.15385} \approx 13.497$

   إذًا، قيمة $b$ تكون حوالي 13.497.

القوانين المستخدمة:

1. قاعدة الأسية:
   $a^b = c \Rightarrow \log_a(c) = b$

2. قوانين اللوغاريتم:

   • $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$
   • $\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) – \ln(b)$
   • $\ln(a^b) = b \cdot \ln(a)$

3. استخدام اللوغاريتم لحل المعادلات الأسية.

تمثل هذه الخطوات الطريقة التفصيلية التي تم استخدامها لحل المسألة، وتوضيح الخطوات بالقوانين المستخدمة يعزز الفهم العام للحل.