حل المعادلات اللوغاريتمية بالتفصيل

نعتبر المعادلة التالية: $625^{-x} + 25^{-2x} + 5^{-4x} = 14$

نريد حساب قيمة $x$ التي تحقق هذه المعادلة.

لحل هذا النوع من المعادلات اللوغاريتمية، نستخدم فكرة تحويل الأساس، حيث نعرب كل قاعدة للأس على شكل نفس الأساس.

لدينا:
$625^{-x} = (5^4)^{-x} = 5^{-4x}$
$25^{-2x} = (5^2)^{-2x} = 5^{-4x}$

الآن يمكننا تجميع المعادلة باستخدام هذه الفكرة:
$5^{-4x} + 5^{-4x} + 5^{-4x} = 14$

ثم نجمع المثنين:
$3 \times 5^{-4x} = 14$

نقوم بتحويل الكسر إلى صورة عددية:
$5^{-4x} = \frac{14}{3}$

الآن نأخذ اللوغاريتم الطبيعي للجهة اليمنى واليسرى من المعادلة للتخلص من الأس:
$\ln(5^{-4x}) = \ln\left(\frac{14}{3}\right)$

نستخدم قاعدة لوغاريتم القوة لنخرج الأس:
$-4x \ln(5) = \ln\left(\frac{14}{3}\right)$

الآن نقوم بحساب قيمة $x$ بقسمة كلا الجانبين على $-4\ln(5)$:
$x = -\frac{\ln\left(\frac{14}{3}\right)}{4\ln(5)}$

وهذه هي القيمة المقدرة لـ $x$.

لحل هذه المعادلة، سنقوم بتحليلها خطوة بخطوة باستخدام القوانين اللوغاريتمية والخواص الرياضية. دعونا نقوم بإعادة صياغة المعادلة وحساب القيمة المطلوبة لـ $x$.

المعادلة الأصلية:
$625^{-x} + 25^{-2x} + 5^{-4x} = 14$

نستخدم القاعدة $a^{mn} = (a^m)^n$ لتبسيط المعادلة:
$5^{-4x} + (5^{-2x})^2 + 5^{-4x} = 14$

الآن نستخدم القاعدة $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ لتبسيط المعادلة أكثر:
$\frac{1}{5^{4x}} + \frac{1}{(5^{2x})^2} + \frac{1}{5^{4x}} = 14$

نستخدم القاعدة $\frac{1}{a^n} + \frac{1}{b^n} = \frac{a^n + b^n}{(ab)^n}$ لجمع المثنين:
$\frac{5^{2x} + 1 + 5^{2x}}{(5^{2x})^2} = 14$

نقوم بتبسيط المعادلة أكثر:
$\frac{2 \times 5^{2x} + 1}{25^{x}} = 14$

الآن نقوم بتجميع المثنين في البسط:
$\frac{2 \times 5^{2x} + 1}{5^{4x}} = 14$

نضرب الطرفين في المعادلة في $5^{4x}$ للتخلص من المقام:
$2 \times 5^{2x} + 1 = 14 \times 5^{4x}$

نقوم بترتيب المعادلة وجمع المثنين في البسط:
$2 \times 5^{2x} – 14 \times 5^{4x} + 1 = 0$

الآن نستخدم القاعدة $a^{n} – b^{n} = (a – b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + \ldots + b^{n-1})$ لعامل الفارق:
$(\sqrt{2} \times 5^{x} – 1)(\sqrt{2} \times 5^{3x} + 1) = 0$

الآن لدينا اثنين من العوامل ونستخدم القاعدة $ab = 0$ إذا كان أحد العاملين يساوي صفر:
$\sqrt{2} \times 5^{x} – 1 = 0 \quad \text{أو} \quad \sqrt{2} \times 5^{3x} + 1 = 0$

لحل العامل الأول:
$\sqrt{2} \times 5^{x} = 1$

نرفع الطرفين إلى الأس:
$5^{x} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

نأخذ اللوغاريتم الطبيعي للجهة اليمنى واليسرى:
$x = -\frac{\ln(\sqrt{2})}{\ln(5)}$

لحل العامل الثاني:
$\sqrt{2} \times 5^{3x} + 1 = 0$

نحسب $5^{3x}$ بالتجزئة:
$5^{3x} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

نقوم بحساب $x$ بقسمة كلا الجانبين على $3\ln(5)$:
$x = -\frac{\ln(\sqrt{2})}{3\ln(5)}$

لذا، هذه هي القيم المحتملة لـ $x$ التي تحقق المعادلة المعطاة.