حل المعادلات الكسرية: درس الجبر (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:
نطرح $x = A$ و $x = B$ من مجال الدالة $y = \frac{3x}{2x^2 – 6x + 4}$، لكن المجال يشمل كافة الأعداد الحقيقية باستثناء هاتين القيمتين. ما قيمة $A + B$؟

الحل:
لحساب المجال الذي يستبعد فيه $x = A$ و $x = B$، نحتاج إلى معرفة القيم التي تجعل المقام في الكسر مساويًا للصفر، لأن هذه القيم تؤدي إلى تعرض الدالة للتجزئة.

نبدأ بحل المعادلة $2x^2 – 6x + 4 = 0$ للعثور على القيم التي تجعل المقام يساوي صفر. يمكننا تبسيط هذه المعادلة بقسمة كل من جميع المصطلحات على 2:
$x^2 – 3x + 2 = 0$

نستخدم الآن العملية الجبرية لحل المعادلة من خلال العاملة التجريبية أو العوامل:
$x^2 – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2) = 0$

من هنا، نجد أن القيم الممكنة لـ $x$ هي $x = 1$ و $x = 2$.

لكننا لا نستطيع أن نأخذ $x = 1$ و $x = 2$ معًا، لأن ذلك سيؤدي إلى تقسيم على صفر. لذلك، يجب أن نحتفظ بكل من $x = 1$ و $x = 2$ من مجال الدالة.

إذاً، قيمة $A + B$ تكون $1 + 2 = 3$.

لحل المسألة، نحتاج إلى فهم القوانين الأساسية في الجبر والتي نستخدمها لحل المعادلات وتحديد مجالات الدوال. هذه القوانين تشمل:

1. خواص الكسور: نستخدم خواص الكسور في تبسيط التعابير الكسرية وفهم سلوك الدوال في مناطق معينة.

2. حل المعادلات الثانوية: نحتاج إلى حل المعادلات الثانوية لتحديد القيم التي تجعل المقام في الكسر يساوي الصفر، حيث تكون الدالة غير معرفة في تلك القيم.

3. المجال والنطاق: نحدد المجال والنطاق للدوال لفهم سلوكها. المجال هو مجموعة القيم الممكنة للمتغير المستقل (في هذه الحالة $x$)، بينما النطاق هو مجموعة القيم الممكنة للمتغير التابع (في هذه الحالة $y$).

الآن، دعونا نستعرض الخطوات التفصيلية لحل المسألة:

1. حل المعادلة الثانوية:
   نبدأ بحل المعادلة $2x^2 – 6x + 4 = 0$، حيث نستخدم إما العوامل أو الصيغة العامة للمعادلة الثانوية. في هذه الحالة، قمنا بتطبيق الصيغة العامة للمعادلة الثانوية وحصلنا على $x = 1$ و $x = 2$ كحلول للمعادلة.

2. تحديد المجال:
   يجب استبعاد القيم التي تجعل المقام في الكسر يساوي الصفر، حيث يكون هذا غير متعرف عليه لأنه يؤدي إلى قيم غير محددة (مثل القسمة على صفر). في هذه الحالة، المقام $2x^2 – 6x + 4$ يساوي الصفر عند $x = 1$ و $x = 2$.

3. حساب $A + B$:
   بما أن $A$ و $B$ هما القيم التي يجب استبعادها من المجال، فإن $A + B = 1 + 2 = 3$.

باستخدام هذه الخطوات والقوانين الجبرية الأساسية، يمكننا حل المسألة بدقة وتحديد المجال الذي يتناسب مع الدالة المعطاة.