حل المعادلات القيم المطلقة: الفارق الإيجابي (مسألة رياضيات)

المطلوب هو إيجاد الفارق الإيجابي بين الحلين للمعادلة التالية: $|x + 5| = X$.
إذا كنا نعلم أن الإجابة على السؤال السابق هي 40، فما هي قيمة المتغير X غير المعروف؟

لنقم بتحويل المسألة إلى معادلة رياضية:

نبدأ بحل المعادلة $|x + 5| = X$.
هنا يوجد اثنان من الحالات:

1. عندما $x + 5 \geq 0$:
   في هذه الحالة، المعادلة تكون: $x + 5 = X$.
   إذاً، $x = X – 5$.
2. عندما $x + 5 < 0$: في هذه الحالة، المعادلة تكون: $-(x + 5) = X$. إذاً، $-x - 5 = X$، وبتحويل العلامة سيكون $x = -X - 5$.

الآن لحساب الفارق الإيجابي بين الحلين، يتوجب علينا تحديد الحلول للحالتين ومن ثم حساب الفارق بينهما.
في الحالة الأولى: $x = X – 5$، وفي الحالة الثانية: $x = -X – 5$.

نقوم بحساب فارق الحلول:
$| (X – 5) – (-X – 5) | = 40$

بالتبسيط:
$|X – 5 + X + 5| = 40$

يُلغى الـ 5 والـ -5:
$|2X| = 40$

الآن، نعلم أن الفارق الإيجابي بين الحلين هو 40. وبالتالي:
$2X = 40$

نقوم بحساب قيمة X:
$X = \frac{40}{2} = 20$

إذاً، قيمة المتغير X هي 20.

لحل المسألة المذكورة، نحتاج إلى فهم الطرق التي نستخدمها لحل معادلات القيم المطلقة وكذلك تطبيق القوانين الخاصة بها. سنقوم بشرح الخطوات بالتفصيل وذكر القوانين التي نستخدمها:

المسألة تقول:

“ما هو الفارق الإيجابي بين الحلين للمعادلة التالية: $|x + 5| = X$؟
إذا كنا نعلم أن الإجابة على السؤال السابق هي 40، فما هي قيمة المتغير X غير المعروف؟”

الآن سنقوم بحل المعادلة وحساب الفارق بين الحلين:

1. حل المعادلة $|x + 5| = X$:

   نحل المعادلة عن طريق فصلها إلى حالتين، بناءً على القاعدة الأساسية للقيم المطلقة:

   أولاً، عندما $x + 5 \geq 0$:

   في هذه الحالة، المعادلة تصبح: $x + 5 = X$.

   ثانياً، عندما $x + 5 < 0$:

   في هذه الحالة، نحول القيمة المطلقة إلى قيمتها السالبة، وتصبح المعادلة: $-(x + 5) = X$.

2. حساب الفارق بين الحلين:

   بعد حساب الحلول للمعادلتين السابقتين، نقوم بمحاولة إيجاد الفارق بينهما. هذا يتطلب تطبيق القانون الذي ينص على أن الفارق بين حلي معادلة قيمة مطلقة يكون هو فارق القيم المطلقة للحلين.

3. التطبيق العملي:

   نقوم بحساب الفارق بين الحلين كالتالي:
   $| (X – 5) – (-X – 5) | = 40$

   يتم ذلك بطرح قيمة الـ $x$ للحالة الأولى من قيمة الـ $x$ للحالة الثانية، ونأخذ القيمة المطلقة للفارق بينهما.

4. حل المعادلة:

   بعد الحسابات، نحصل على المعادلة $|2X| = 40$.
   نستخدم الخاصية الأساسية للقيم المطلقة: إذا كان $|a| = b$ فإما $a = b$ أو $a = -b$.

   لذا، نحصل على حل واحد عندما $2X = 40$، أي $X = 20$.

هذه الخطوات تشرح الطريقة التي نستخدمها لحل المسألة، والقوانين المستخدمة هي قوانين القيم المطلقة وكيفية حساب الفارق بين الحلول.