حل المعادلات العقدية: البحث عن قيم c c c (مسألة رياضيات)

نبحث عن عدد القيم الحقيقية للعدد $c$ التي تحقق المعادلة $\left| \frac{1}{2} – ci \right| = \frac{3}{4}$.

لنبدأ بإعادة صياغة المعادلة بشكل متوسط ومفهوم:

نريد أن نجد القيم الحقيقية للعدد $c$ التي تجعل المسافة بين $\frac{1}{2} – ci$ والصفر تساوي $\frac{3}{4}$.

لحل هذه المعادلة، نحتاج إلى استخدام تعريف المسافة بين نقطتين في السطح العقدي. فلنقم بذلك:

المسافة بين $z_1$ و $z_2$ في السطح العقدي هي $|z_1 – z_2|$.

بما أن $z_1 = \frac{1}{2} – ci$ و $z_2 = 0$، فإن المعادلة تصبح:

$\left| \frac{1}{2} – ci – 0 \right| = \frac{3}{4}$

$\left| \frac{1}{2} – ci \right| = \frac{3}{4}$

الآن، للعثور على القيم الحقيقية لـ $c$، سنقوم بفحص الجزء الحقيقي والجزء الوهمي لـ $\frac{1}{2} – ci$ بشكل منفصل.

لجزء الحقيقي:

$\text{Re}\left( \frac{1}{2} – ci \right) = \frac{1}{2}$

ولجزء الوهمي:

$\text{Im}\left( \frac{1}{2} – ci \right) = -c$

باستخدام معادلة المسافة في السطح العقدي $|z| = \sqrt{\text{Re}(z)^2 + \text{Im}(z)^2}$، يمكننا حساب المسافة بين $\frac{1}{2} – ci$ والصفر:

$\left| \frac{1}{2} – ci \right| = \sqrt{\left( \frac{1}{2} \right)^2 + (-c)^2}$

$\frac{3}{4} = \sqrt{\frac{1}{4} + c^2}$

الآن، لنقم بحل المعادلة التي تحتوي على $c$:

$\left( \frac{3}{4} \right)^2 = \frac{1}{4} + c^2$

$\frac{9}{16} – \frac{1}{4} = c^2$

$\frac{9 – 4}{16} = c^2$

$\frac{5}{16} = c^2$

$c = \pm \sqrt{\frac{5}{16}}$

$c = \pm \frac{\sqrt{5}}{4}$

وبالتالي، هناك اثنتان من القيم الحقيقية لـ $c$ تحقق المعادلة المعطاة.

لحل المسألة، سنستخدم الخصائص الأساسية للأعداد المركبة وقوانين المعادلات. الهدف هو إيجاد القيم الحقيقية لـ $c$ التي تحقق المعادلة $\left| \frac{1}{2} – ci \right| = \frac{3}{4}$.

1. تحليل المعادلة:
   نبدأ بتحليل المعادلة لفهم العملية التي نحتاج إليها لحلها. المعادلة تقول إن المسافة بين $\frac{1}{2} – ci$ والصفر في السطح العقدي تساوي $\frac{3}{4}$.

2. قانون مسافة بين نقطتين في السطح العقدي:
   المسافة بين نقطتين في السطح العقدي هي الفارق بينهما، ويمكن حسابها باستخدام القاعدة التالية:
   $|z| = \sqrt{\text{Re}(z)^2 + \text{Im}(z)^2}$
   حيث $z$ هو العدد المركب، و $\text{Re}(z)$ هو جزءه الحقيقي، و $\text{Im}(z)$ هو جزءه الوهمي.

3. استخدام القاعدة على المعادلة المعطاة:
   نقوم بتطبيق القاعدة على المعادلة $\left| \frac{1}{2} – ci \right| = \frac{3}{4}$ لحساب المسافة بين $\frac{1}{2} – ci$ والصفر.

4. حساب المسافة:
   بما أن $\frac{1}{2} – ci$ هو عدد مركب، فإننا نستخدم القاعدة لحساب المسافة:
   $\left| \frac{1}{2} – ci \right| = \sqrt{\left( \frac{1}{2} \right)^2 + (-c)^2}$
   وهنا نستخدم الجزء الحقيقي $\frac{1}{2}$ والجزء الوهمي $-c$ من $\frac{1}{2} – ci$.

5. حل المعادلة:
   نضع المسافة المحسوبة $\frac{3}{4}$ في المعادلة:
   $\frac{3}{4} = \sqrt{\frac{1}{4} + c^2}$
   ثم نقوم بحل المعادلة للعثور على القيم الممكنة لـ $c$.

6. حل المعادلة التربيعية:
   نقوم بحساب $c$ بعد حل المعادلة التي تظهر فيها في حالتها التربيعية.

7. التحقق من الحلول:
   نقوم بالتحقق من الحلول للتأكد من صحتها ومطابقتها لشروط المعادلة الأصلية.

بهذه الخطوات، نستطيع الوصول إلى القيم الحقيقية لـ $c$ التي تحقق المعادلة المعطاة. الحل يعتمد على فهم الخصائص الأساسية للأعداد المركبة واستخدام القوانين الرياضية المناسبة لحل المعادلات.