حل المعادلات: العثور على قاعدة النظام المجهول (مسألة رياضيات)

لدي قطة وجدت 432 طريقة لتمديد كل من تسع حياتها في نظام تسعيني. هناك 353 طريقة في النظام ذو القاعدة X. ما هو قيمة المتغير المجهول X؟

الحل:
لفهم قيمة المتغير X، يمكننا إعادة صياغة المعادلة. نعلم أن هناك 432 طريقة في النظام التسعيني، وهو نظام ذو قاعدة 9. وهناك 353 طريقة في النظام ذو القاعدة X. لذا، يمكننا كتابة المعادلة التالية:

$432_9 = 353_X$

لحساب قيمة المتغير المجهول X، نقوم بتحويل الأعداد إلى النظام العشري. لدينا:

$4 \times 9^2 + 3 \times 9^1 + 2 \times 9^0 = 3 \times X^2 + 5 \times X^1 + 3 \times X^0$

$324 + 27 + 2 = 3X^2 + 5X + 3$

$353 = 3X^2 + 5X + 3$

الآن، لحساب قيمة المتغير X، يجب حل المعادلة التربيعية. نقوم بطرح 353 من الجهة اليمنى ونضع المعادلة بالشكل التالي:

$3X^2 + 5X + 3 – 353 = 0$

الآن نقوم بحل المعادلة التربيعية. يمكننا استخدام الطريقة العامة لحلها أو استخدام العلاقة:

$X = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث $a = 3$ و $b = 5$ و $c = -350$.

بعد الحسابات، نجد أن قيمة المتغير المجهول X هي 11. إذاً، قاعدة النظام ذي القاعدة X هي 11.

لحل هذه المسألة، سنقوم بتحويل الأعداد من نظام إلى آخر واستخدام القوانين الرياضية ذات الصلة. دعونا نركز أولاً على تفاصيل الحل:

المعادلة الأساسية هي:

$432_9 = 353_X$

نقوم بتحويل الأعداد إلى النظام العشري:

$4 \times 9^2 + 3 \times 9^1 + 2 \times 9^0 = 3 \times X^2 + 5 \times X^1 + 3 \times X^0$

$324 + 27 + 2 = 3X^2 + 5X + 3$

$353 = 3X^2 + 5X + 3$

ثم نقوم بترتيب المعادلة بشكل يتيح حلاً سهلاً:

$3X^2 + 5X + 3 – 353 = 0$

$3X^2 + 5X – 350 = 0$

الآن، يمكننا حل المعادلة التربيعية. يمكننا استخدام القاعدة العامة لحل المعادلات التربيعية:

$X = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث $a = 3$ و $b = 5$ و $c = -350$. نقوم بتعويض القيم:

$X = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 – 4(3)(-350)}}{2(3)}$

$X = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 4200}}{6}$

$X = \frac{-5 \pm \sqrt{4225}}{6}$

$X = \frac{-5 \pm 65}{6}$

لدينا اثنين من الحلول الممكنة:

1. $X_1 = \frac{-5 + 65}{6} = \frac{60}{6} = 10$

2. $X_2 = \frac{-5 – 65}{6} = \frac{-70}{6} = -\frac{35}{3}$

ومن المعقول أن نتجاهل الحلا المتسلب لأن القاعدة لا يمكن أن تكون قيمة سالبة. إذاً، القاعدة المجهولة $X$ هي 10.

القوانين المستخدمة في الحل تتضمن:

1. تحويل النظام: تحويل الأعداد من نظام إلى آخر باستخدام القاعدة العامة $a \times n^k + b \times n^{k-1} + \ldots + c \times n^0$.

2. الجمع والطرح في النظام: استخدام قواعد الجمع والطرح في النظام الثنائي للتعامل مع الأعداد.

3. حل المعادلة التربيعية: استخدام الصيغة العامة لحل المعادلات التربيعية.

4. التأكد من الحلول: التحقق من الحلول لضمان صحتها وملاءمتها للسياق الرياضي.