قيمة $(1003)^2 – (997)^2 – (1001)^2 + (999)^2$ يمكن حسابها باستخدام بعض القوانين الجبرية والتجزئة. لنقم بتفكيك هذا التعبير وإيجاد حلاً بدون استخدام الآلة الحاسبة.
أولاً، يمكننا استخدام قاعدة الفرق بين مربعين:
(a+b)(a−b)=a2−b2
لتفكيك التعبير، نلاحظ أن:
(1003)2−(997)2=(1003+997)(1003−997)
و
(1001)2−(999)2=(1001+999)(1001−999)
الآن، يمكننا استخدام القاعدة مرة أخرى لتفكيك باقي التعبير:
(1003+997)(1003−997)−(1001+999)(1001−999)
نواصل التجزئة:
((1003+997)−(1001+999))((1003+997)+(1001−999))
نقوم بجمع وطرح الأعداد:
(2000−2000)(2000+2)
نجد أن الجزء الأول أصبح صفرًا، لذلك يبقى لدينا:
0×2002
ونعلم أن أي عدد مضروب في صفر يكون الناتج صفر. إذاً، قيمة التعبير المعطى هي صفر.
بالتالي، القيمة النهائية هي صفر.
لحل تلك المسألة، دعونا نبدأ بتفكيك التعبير باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين:
(a+b)(a−b)=a2−b2
نستخدم هذه القاعدة على الجزئين الأوليين في التعبير:
(1003)2−(997)2=(1003+997)(1003−997)
وهذا يُبسط إلى:
(2000)(6)=12000
الآن، نقوم بتطبيق نفس الفكرة على الجزئين الثانيين:
(1001)2−(999)2=(1001+999)(1001−999)
ويُبسط هذا إلى:
(2000)(2)=4000
الآن، نستخدم قاعدة الجمع والطرح لدمج الجزئين المفككين:
(2000+6)−(2000+2)=4
لكننا نعلم أننا قمنا بخطوة زائدة، حيث قمنا بطرح نفس القيمة مرتين (مرة واحدة في الطرح ومرة في الجمع). لذلك، نقوم بإضافة هذه القيمة مرة واحدة:
المرحلة الأخيرة هي تطبيق قاعدة الجمع والطرح للحصول على الناتج النهائي:
5+12000−4000=8005
إذاً، قيمة التعبير هي 8005.
القوانين المستخدمة:
- قاعدة الفرق بين مربعين: (a+b)(a−b)=a2−b2
- قاعدة الجمع والطرح: (a+b)−(c+d)=a−c+b−d
