قيمة $(1003)^2 – (997)^2 – (1001)^2 + (999)^2$ يمكن حسابها باستخدام بعض القوانين الجبرية والتجزئة. لنقم بتفكيك هذا التعبير وإيجاد حلاً بدون استخدام الآلة الحاسبة.
أولاً، يمكننا استخدام قاعدة الفرق بين مربعين:
"Link To Share" هو منصتك التسويقية الشاملة لتوجيه جمهورك إلى كل ما تقدمه بسهولة واحترافية.
• صفحات بروفايل (Bio) عصرية ومخصّصة
• تقصير روابط مع تحليلات متقدّمة
• إنشاء رموز QR تفاعلية بعلامة تجارية
• استضافة مواقع ثابتة وإدارة أكواد
• أدوات ويب متنوعة لتنمية أعمالك
ابدأ الآن وارتقِ بمشاريعك!
( a + b ) ( a − b ) = a 2 − b 2 (a + b)(a – b) = a^2 – b^2 ( a + b ) ( a − b ) = a 2 − b 2
لتفكيك التعبير، نلاحظ أن:( 1003 ) 2 − ( 997 ) 2 = ( 1003 + 997 ) ( 1003 − 997 ) (1003)^2 – (997)^2 = (1003 + 997)(1003 – 997) ( 1003 ) 2 − ( 997 ) 2 = ( 1003 + 997 ) ( 1003 − 997 )
و( 1001 ) 2 − ( 999 ) 2 = ( 1001 + 999 ) ( 1001 − 999 ) (1001)^2 – (999)^2 = (1001 + 999)(1001 – 999) ( 1001 ) 2 − ( 999 ) 2 = ( 1001 + 999 ) ( 1001 − 999 )
الآن، يمكننا استخدام القاعدة مرة أخرى لتفكيك باقي التعبير:
( 1003 + 997 ) ( 1003 − 997 ) − ( 1001 + 999 ) ( 1001 − 999 ) (1003 + 997)(1003 – 997) – (1001 + 999)(1001 – 999) ( 1003 + 997 ) ( 1003 − 997 ) − ( 1001 + 999 ) ( 1001 − 999 )
نواصل التجزئة:
( ( 1003 + 997 ) − ( 1001 + 999 ) ) ( ( 1003 + 997 ) + ( 1001 − 999 ) ) ((1003 + 997) – (1001 + 999))((1003 + 997) + (1001 – 999)) (( 1003 + 997 ) − ( 1001 + 999 )) (( 1003 + 997 ) + ( 1001 − 999 ))
نقوم بجمع وطرح الأعداد:
( 2000 − 2000 ) ( 2000 + 2 ) (2000 – 2000)(2000 + 2) ( 2000 − 2000 ) ( 2000 + 2 )
نجد أن الجزء الأول أصبح صفرًا، لذلك يبقى لدينا:
0 × 2002 0 \times 2002 0 × 2002
ونعلم أن أي عدد مضروب في صفر يكون الناتج صفر. إذاً، قيمة التعبير المعطى هي صفر.
بالتالي، القيمة النهائية هي صفر.
لحل تلك المسألة، دعونا نبدأ بتفكيك التعبير باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين:
( a + b ) ( a − b ) = a 2 − b 2 (a + b)(a – b) = a^2 – b^2 ( a + b ) ( a − b ) = a 2 − b 2
نستخدم هذه القاعدة على الجزئين الأوليين في التعبير:
( 1003 ) 2 − ( 997 ) 2 = ( 1003 + 997 ) ( 1003 − 997 ) \begin{align*}
& (1003)^2 – (997)^2 \\
&= (1003 + 997)(1003 – 997)
\end{align*} ( 1003 ) 2 − ( 997 ) 2 = ( 1003 + 997 ) ( 1003 − 997 ) وهذا يُبسط إلى:
( 2000 ) ( 6 ) = 12000 (2000)(6) = 12000 ( 2000 ) ( 6 ) = 12000 الآن، نقوم بتطبيق نفس الفكرة على الجزئين الثانيين:
( 1001 ) 2 − ( 999 ) 2 = ( 1001 + 999 ) ( 1001 − 999 ) \begin{align*}
& (1001)^2 – (999)^2 \\
&= (1001 + 999)(1001 – 999)
\end{align*} ( 1001 ) 2 − ( 999 ) 2 = ( 1001 + 999 ) ( 1001 − 999 ) ويُبسط هذا إلى:
( 2000 ) ( 2 ) = 4000 (2000)(2) = 4000 ( 2000 ) ( 2 ) = 4000 الآن، نستخدم قاعدة الجمع والطرح لدمج الجزئين المفككين:
( 2000 + 6 ) − ( 2000 + 2 ) = 4 (2000 + 6) – (2000 + 2) = 4 ( 2000 + 6 ) − ( 2000 + 2 ) = 4 لكننا نعلم أننا قمنا بخطوة زائدة، حيث قمنا بطرح نفس القيمة مرتين (مرة واحدة في الطرح ومرة في الجمع). لذلك، نقوم بإضافة هذه القيمة مرة واحدة:
المرحلة الأخيرة هي تطبيق قاعدة الجمع والطرح للحصول على الناتج النهائي:
5 + 12000 − 4000 = 8005 5 + 12000 – 4000 = 8005 5 + 12000 − 4000 = 8005 إذاً، قيمة التعبير هي 8005.
القوانين المستخدمة:
قاعدة الفرق بين مربعين: ( a + b ) ( a − b ) = a 2 − b 2 (a + b)(a – b) = a^2 – b^2 ( a + b ) ( a − b ) = a 2 − b 2 قاعدة الجمع والطرح: ( a + b ) − ( c + d ) = a − c + b − d (a + b) – (c + d) = a – c + b – d ( a + b ) − ( c + d ) = a − c + b − d
