حل المعادلات الرياضية المركبة بالقيم المطلقة (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية المعطاة هي إيجاد القيمة الحقيقية الموجبة للعدد $t$ التي تحقق المعادلة التالية:
$|t+2i\sqrt{3}| |6-4i| = 26$

لحل هذه المعادلة، نبدأ بحساب القيم الفعلية للطرف الأيمن. نعلم أن $|a+bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$، لذا يمكننا حساب الطرف الأيمن كالتالي:
$|t+2i\sqrt{3}| = \sqrt{t^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{t^2 + 12}$
وأيضًا:
$|6-4i| = \sqrt{6^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52}$

الآن نستخدم هذه القيم في المعادلة الأصلية:
$\sqrt{t^2 + 12} \cdot \sqrt{52} = 26$

نربع الطرفين للتخلص من الجذور:
$t^2 + 12 \cdot 52 = 26^2$

نقوم بحساب الجهة اليسرى:
$t^2 + 624 = 676$

ثم نطرح 624 من الجهة اليمنى:
$t^2 = 676 – 624$
$t^2 = 52$

نأخذ الجذر التربيعي الإيجابي للجهة اليمنى للعثور على قيمة $t$:
$t = \sqrt{52}$

وبما أننا نريد القيمة الحقيقية الموجبة، فإن الإجابة هي:
$t = \sqrt{52}$

إذاً، القيمة الحقيقية الموجبة لـ $t$ التي تحقق المعادلة هي $t = \sqrt{52}$.

لحل هذه المسألة، سنستخدم القوانين الأساسية للأعداد المركبة والمطلوب حساب القيمة الحقيقية الموجبة لـ $t$ التي تحقق المعادلة:
$|t+2i\sqrt{3}| |6-4i| = 26$

لنركز على حساب قيمة $|t+2i\sqrt{3}|$ أولاً، حيث أن $|a+bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$. في هذه الحالة:
$|t+2i\sqrt{3}| = \sqrt{t^2 + (2\sqrt{3})^2}$

ثم نحسب قيمة $|6-4i|$، حيث أن $|a+bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$. في هذه الحالة:
$|6-4i| = \sqrt{6^2 + (-4)^2}$

باستخدام هذه القيم، نكتب المعادلة الأصلية كالتالي:
$\sqrt{t^2 + 12} \cdot \sqrt{52} = 26$

ثم نقوم برفع الطرفين للتخلص من الجذور:
$t^2 + 12 \cdot 52 = 26^2$

نقوم بحساب الجهة اليسرى:
$t^2 + 624 = 676$

ثم نطرح 624 من الجهة اليمنى:
$t^2 = 676 – 624$
$t^2 = 52$

نأخذ الجذر التربيعي للجهة اليمنى للحصول على قيمة $t$:
$t = \sqrt{52}$

وبما أننا نريد القيمة الحقيقية الموجبة، فإن الإجابة هي:
$t = \sqrt{52}$

القوانين المستخدمة في هذا الحل تشمل قوانين القيم المطلقة $|a+bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$ وخوارزمية حساب الجذور والعمليات الأساسية.