حل المعادلات الخطية والتعبيرات الجبرية. (مسألة رياضيات)

المعادلات المعطاة هي:

$x + 2y = 4$
$xy = -8$

لنقم بحساب قيمة $x$ و $y$ أولاً.

من المعادلة الأولى، يمكننا حل $x$ منها بالتالي:

$x = 4 – 2y$

ثم نستخدم قيمة $x$ في المعادلة الثانية:

$(4 – 2y)y = -8$
$4y – 2y^2 = -8$
$-2y^2 + 4y + 8 = 0$

قد يبدو هذا المعادلة من الدرجة الثانية، لذا سنقوم باستخدام العلاقة بين جذر الدرجة الثانية ومعاملاتها، المعروفة باسم العلاقة الخوفية:

$y = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 – 4ac}}}}{{2a}}$

حيث $a = -2$ و $b = 4$ و $c = 8$.

إذاً، نستخدم العلاقة كالتالي:

$y = \frac{{-4 \pm \sqrt{{4^2 – 4 \times (-2) \times 8}}}}{{2 \times (-2)}}$
$y = \frac{{-4 \pm \sqrt{{16 + 64}}}}{{-4}}$
$y = \frac{{-4 \pm \sqrt{{80}}}}{{-4}}$
$y = \frac{{-4 \pm 4\sqrt{{5}}}}{{-4}}$
$y = 1 \pm \sqrt{{5}}$

ومن ثم يمكننا حساب قيم $x$ باستخدام العلاقة $x = 4 – 2y$:

$x = 4 – 2(1 \pm \sqrt{{5}})$
$x = 4 – 2 \pm 2\sqrt{{5}}$
$x = 4 \mp 2 \sqrt{{5}}$

الآن، لحساب قيمة $x^2 + 4y^2$، نستخدم القيم التي حصلنا عليها:

$x^2 + 4y^2 = (4 \mp 2 \sqrt{5})^2 + 4(1 \pm \sqrt{5})^2$

سنقوم الآن بحساب القيم المختلفة باستخدام القوانين الجبرية.

$(4 \mp 2 \sqrt{5})^2 = 16 \mp 16 \sqrt{5} + 20$
$(1 \pm \sqrt{5})^2 = 1 \pm 2\sqrt{5} + 5$

بعد ذلك، سنقوم بجمع العبارات وحساب الناتج:

$(4 \mp 2 \sqrt{5})^2 + 4(1 \pm \sqrt{5})^2 = 16 \mp 16 \sqrt{5} + 20 + 4(1 \pm 2\sqrt{5} + 5)$
$= 16 \mp 16 \sqrt{5} + 20 + 4 \pm 8\sqrt{5} + 20$
$= 56 \pm 4 + 8\sqrt{5} – 16\sqrt{5}$
$= 60 \pm (8 – 16)\sqrt{5}$
$= 60 \pm (-8)\sqrt{5}$

لذا، قيمة $x^2 + 4y^2$ هي $60 \pm (-8)\sqrt{5}$.

بالطبع، دعنا نقوم بتفصيل الحل مع استخدام القوانين الجبرية المعتادة. المسألة تحتوي على نظام من المعادلات الخطية وتطلب حساب قيمة معينة باستخدام هذا النظام.

المعادلات المعطاة هي:

$x + 2y = 4$
$xy = -8$

نريد حساب $x^2 + 4y^2$.

الحل:

1. حساب قيم $x$ و $y$:

نبدأ بحل المعادلة الثانية $xy = -8$ للعثور على قيم ممكنة لـ $x$ و $y$. يمكننا حل إحدى المعادلات لـ $x$ أو $y$ ثم استخدامها في المعادلة الأخرى.

من المعادلة الأولى $x + 2y = 4$، يمكننا حساب $x$ كالتالي:

$x = 4 – 2y$

ثم نستخدم قيمة $x$ في المعادلة الثانية:

$(4 – 2y)y = -8$
$4y – 2y^2 = -8$
$-2y^2 + 4y + 8 = 0$

2. حساب قيم $y$:

نستخدم العلاقة الخوفية لحساب قيم $y$ باستخدام معاملات المعادلة الثانية.

$y = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 – 4ac}}}}{{2a}}$

حيث $a = -2$ و $b = 4$ و $c = 8$.

يعطي ذلك قيمتي $y$:

$y = 1 \pm \sqrt{5}$

3. حساب قيم $x$:

نستخدم العلاقة $x = 4 – 2y$ لحساب قيم $x$ بعد استخدام القيم المحتملة لـ $y$.

$x = 4 – 2(1 \pm \sqrt{5})$
$x = 4 \mp 2\sqrt{5}$

4. حساب $x^2 + 4y^2$:

الآن، بمجرد أن لدينا قيم محتملة لـ $x$ و $y$، يمكننا حساب $x^2 + 4y^2$ باستخدام هذه القيم.

$x^2 + 4y^2 = (4 \mp 2\sqrt{5})^2 + 4(1 \pm \sqrt{5})^2$

باستخدام القوانين الجبرية والتعبيرات المناسبة، يمكن حساب القيم وتبسيط العبارات للوصول إلى الإجابة النهائية.

هذا هو الحل بالتفصيل مع استخدام القوانين الجبرية الأساسية مثل قانون حل المعادلات الخطية والعلاقة الخوفية وقوانين التعويض والتبسيط الجبري.