نريد حساب قيمة مجموع النقاط التي يتقاطع فيها المعادلة $3x \equiv 4y – 1 \pmod{35}$ مع محوري الأبعاد $x$ و $y$، والتي يتمثل فيها موقع النقاط $(x_0,0)$ و $(0,y_0)$ على التوالي.
لحل هذه المعادلة، سنبدأ بتحويلها إلى شكل يمكننا من خلاله التعامل مع القسمة والباقي بشكل أفضل. نريد التوصل إلى صيغة تمثل القاعدة الأساسية للمعادلات المتعلقة بالتحليل العددي وهي القسمة والباقي.
نبدأ بتحويل المعادلة إلى صيغة مقاربة، حيث نحول الأجزاء المتنقلة إلى جهة واحدة:
3x−4y≡−1(mod35)
ثم نقوم بإضافة 35 لكي يكون الجهد اليمنى موجباً:
3x−4y+35k=−1
حيث $k$ هو عدد صحيح. الآن، لنحاول الحصول على نقاط التقاطع مع المحاور. للحصول على النقطة $(x_0, 0)$ نضع $y = 0$ في المعادلة:
3x+35k=−1
ومن هذه المعادلة، نجد أنه يجب أن يكون $3x_0 \equiv -1 \pmod{35}$.
والآن، للحصول على النقطة $(0, y_0)$، نضع $x = 0$ في المعادلة الأساسية:
−4y+35k=−1
ومن هذه المعادلة، نجد أنه يجب أن يكون $-4y_0 \equiv -1 \pmod{35}$.
لحل هذه المعادلات، يمكننا استخدام الخوارزمية الموسعة للهندسة العددية مثل خوارزمية أويلر لحساب الأعداد الكبيرة.
سنقوم بحساب القيم الضرورية للوصول إلى الحل، بدءًا من قيمة $3x_0 \equiv -1 \pmod{35}$، وكذلك $-4y_0 \equiv -1 \pmod{35}$.
للتوضيح، سنستخدم الأعداد التي تمثل الباقي بعد القسمة على 35، مما يتيح لنا فهم النمط وتتبعه.
نحتاج إلى البحث عن الأعداد $x_0$ و $y_0$ حيث:
3x0≡−1(mod35)
و
−4y0≡−1(mod35)
يمكننا ببساطة تجريب القيم حتى نجد الحلول المناسبة. من خلال التجريب، يمكننا الوصول إلى $x_0 = 12$ و $y_0 = 9$.
وبالتالي، مجموع $x_0$ و $y_0$ هو $12 + 9 = 21$.
المزيد من المعلومات
لحل المسألة التي تتعلق بالمعادلة الخطية في الحساب المتعلق بالمتبقيات والتوافق العددي، نحتاج إلى فهم مجموعة من القوانين والمفاهيم المتعلقة بالحساب المتبقي والتوافق العددي.
-
التوافق العددي (Modular Arithmetic):
في الرياضيات، يشير التوافق العددي إلى العملية التي تربط الأعداد بتناوب محدد أو دورة. عندما نقول “عدد $a$ متوافق مع $b$ بالنسبة للمودولو $m$”، نعني أن الفرق بينهما قابل للقسمة على $m$ دون باقي. -
المتبقي (Modulus):
المتبقي هو الباقي الذي نحصل عليه عند قسم عدد معين على عدد آخر. -
الخوارزمية الموسعة للهندسة العددية (Extended Euclidean Algorithm):
هذه الخوارزمية تساعد في حساب أكبر مشترك للعناصر وتمكننا من حساب العكس المتعلق بالتوافق العددي. -
قانون الأعداد المتبقية (Congruence Rules):
قوانين تتعلق بالتوافق العددي تسمح لنا بتطبيق العمليات الحسابية مثل الجمع، الطرح، والضرب في عمليات التوافق العددي. -
التحويلات بين المعادلات الخطية والمعادلات المتبقية:
يمكن تحويل المعادلات الخطية إلى معادلات متبقية عن طريق استخدام التوافق العددي، مما يجعل من السهل التعامل معها بواسطة القوانين المتعلقة بالمتبقيات.
الآن، بعد فهم القوانين المستخدمة، نأتي إلى حل المسألة:
- نبدأ بتحويل المعادلة الخطية $3x \equiv 4y – 1 \pmod{35}$ إلى صيغة يسهل التعامل معها، وذلك بإضافة 35 إلى الجهة اليمنى لتكون موجبة.
- نستخدم القوانين المتعلقة بالمتبقيات لتحديد النقاط $(x_0, 0)$ و $(0, y_0)$، حيث $x_0$ و $y_0$ هما القيم التي تجعل المعادلة صحيحة.
- نستخدم الخوارزمية الموسعة للهندسة العددية لحساب الأعداد الكبيرة بشكل فعال.
- بعد العثور على القيم المناسبة لـ $x_0$ و $y_0$، نجمعهما للحصول على المجموع المطلوب.
هذا النهج يتطلب فهماً جيداً للتوافق العددي والخوارزميات المتعلقة به، وهو مفيد لفهم العلاقات الرياضية والتطبيقات العملية في الحسابات والتحليل العددي.