حل المعادلات الثنائية وتحديد قيمة b (مسألة رياضيات)

التعبير الرياضي المعطى هو: $-x^2 + bx – 5 < 0$ عندما يكون $x$ في الفاصلة $(- \infty, 1) \cup (5, \infty)$. لحل هذه المسألة، يجب أولاً فهم كيفية تأثير قيمة $b$ على التعبير الرياضي.

في هذا السياق، نعرف أن التعبير $-x^2 + bx – 5$ هو معادلة من الدرجة الثانية. ولمعرفة متى يكون هذا التعبير أقل من الصفر ($< 0$)، نقوم بفحص نقاط التقاطع مع المحور الأفقي ($x$)، والتي تحدث عند $-x^2 + bx – 5 = 0$.

لحل هذه المعادلة، يمكننا استخدام الصيغة العامة لحساب الجذرين:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث $a = -1$، $b = b$ و $c = -5$ في معادلتنا. الآن نستخدم الشروط المعطاة بأن التعبير يكون أقل من صفر ($< 0$) عند $x \in (-\infty, 1) \cup (5, \infty)$.

نتحقق من النقاط التي تحقق هذه الشروط:

1. لنقطة $x = 1$: إذا كان $x = 1$ فإن التعبير يصبح $-1 + b – 5 < 0$، وبالتالي يكون $b < 6$.
2. لنقطة $x = 5$: إذا كان $x = 5$ فإن التعبير يصبح $-25 + 5b – 5 < 0$، وبالتالي يكون $b < 6$.

إذاً، نتوصل إلى أن قيمة $b$ يجب أن تكون أقل من 6.

لحل هذه المسألة، سنبدأ بفهم الشروط المطلوبة ومن ثم نستخدم القوانين الرياضية المناسبة.

التعبير الرياضي المعطى هو:
$-x^2 + bx – 5 < 0$

والشروط المعطاة هي أن هذا التعبير يكون أقل من صفر ($< 0$) عندما يكون $x$ في الفاصلة $(- \infty, 1) \cup (5, \infty)$.

أولاً، نحتاج إلى فهم نقاط التقاطع مع المحور الأفقي ($x$)، وهي النقاط التي يكون فيها التعبير يساوي صفر:
$-x^2 + bx – 5 = 0$

نستخدم الصيغة العامة لحساب الجذرين:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث $a = -1$، $b = b$، و $c = -5$ في معادلتنا. يظهر لنا أن الجذرين يمكن أن يكونان معقدين أو حقيقيين اعتمادًا على قيمة $b^2 – 4ac$.

الآن، نحن نعلم أن التعبير $-x^2 + bx – 5$ يكون أقل من صفر ($< 0$) في الفاصلة $(- \infty, 1) \cup (5, \infty)$، لذا يجب أن يكون هناك فجوة بين الجذرين. هذا يعني أن الجذرين يجب أن يكونا حقيقيين ومتباعدين.

الشرط الأول: $b^2 – 4ac > 0$ لضمان أن لدينا جذرين حقيقيين.

الشرط الثاني: نستخدم فكرة فجوة بين الجذرين، حيث يكون الجذر الأكبر أكبر من 1 والجذر الأصغر أصغر من 5.

بناءً على هذه الشروط، نحصل على:
$b^2 – 4ac > 0$
$(b – 1)(b – 5) < 0$

إذاً، القيم المقبولة لـ $b$ هي القيم التي تحقق هذين الشرطين. الشرط الأول يفرض قيودًا على القيمة المطلوبة لـ $b$، والشرط الثاني يضيف تحديدًا إضافيًا للقيمة.

لذلك، يكون الحل للمسألة هو:
$b^2 – 4ac > 0$
$(b – 1)(b – 5) < 0$

تم استخدام القوانين الرياضية المتقدمة لحساب الجذور وتحديد شروط فجوة بينهما، مع استخدام مبدأ الضرورة والكفاية للتوصل إلى الحل.