حل المعادلات التكرارية باستخدام دوال التكرار (مسألة رياضيات)

لنبدأ بإعادة صياغة المسألة باللغة العربية:

لنقم بتعريف دالة $f(x) = \frac{x + 6}{x}$. تُعرّف تسلسل الدوال $(f_n)$ بالشكل التالي: $f_1 = f$ و$f_n = f \circ f_{n – 1}$لكل $n \ge 2$. على سبيل المثال، $f_2(x) = f(f(x)) = \frac{\frac{x + 6}{x} + 6}{\frac{x + 6}{x}} = \frac{7x + 6}{x + 6}$ و$f_3(x) = f(f_2(x)) = \frac{\frac{7x + 6}{x + 6} + 6}{\frac{7x + 6}{x + 6}} = \frac{13x + 42}{7x + 6}$. نرمز إلى مجموعة جميع الأعداد الحقيقية $x$ التي تحقق الشرط $f_n(x) = x$ لبعض العدد الصحيح الإيجابي $n$ بالمجموعة $S$. المطلوب هو إيجاد عدد العناصر في $S$.

الآن، سنقوم بحل المسألة:

لنلاحظ أن عندما نستخدم دالة $f(x)$، فإننا نقوم بتبديل $x$ بالتعبير $\frac{x + 6}{x}$ في الدالة نفسها. هذا يعني أن كل مرة نستخدم فيها $f(x)$، نقوم بإجراء التبديل التالي:
$f(x) \to f\left(\frac{x + 6}{x}\right).$
نلاحظ أن العملية مكررة، وهذا يوحي بأننا سنحتاج إلى إجراء عملية التبديل عدة مرات.

لنقم بتحليل الدوال $f_n(x)$ بشكل عام. عندما نقوم بتطبيق الدالة $f(x)$ على $x$، نحصل على التعبير التالي:
$f(x) = \frac{x + 6}{x}.$
الآن، عندما نستخدم $f(f(x))$، فإننا نحل المعادلة:
$f(f(x)) = x.$
لنحاول حل هذه المعادلة لنجد القيمة التي تحقق الشرط. نستخدم التعبير $f(f(x))$ بدلاً من $x$ في تعبير $f(x)$:
$f(f(x)) = f\left(\frac{x + 6}{x}\right) = \frac{\frac{x + 6}{x} + 6}{\frac{x + 6}{x}}.$
الآن، نضع هذا المعبر في المعادلة الأصلية ونحاول حلها:
$\frac{\frac{\frac{x + 6}{x} + 6}{\frac{x + 6}{x}} + 6}{\frac{\frac{x + 6}{x} + 6}{\frac{x + 6}{x}}} = x.$
حاولنا حل المعادلة باستخدام $f(f(x))$، وهي نفس العملية التي يمكن أن نطبقها على $f(f(f(x)))$، وهكذا. لاحظ أنه كلما زاد عدد الدوال المتكررة، كلما زادت التعقيدية وصعوبة حل المعادلة.

ولكن، يمكننا تبسيط الأمر عن طريق ملاحظة نقطة مهمة: عندما نستخدم دالة $f(x)$ مرتين متتاليتين، فإننا نقوم بتطبيق دالة على التعبير $\frac{x + 6}{x}$، وهذا يشير إلى أننا نستخدم دالة $f(x)$ لتبديل $x$ بتعبير يحتوي بالفعل على دالة $f(x)$.

بمعنى آخر، كلما زاد عدد التكرار، كلما تغيرت قيمة التعبير نفسه بشكل أساسي. هذا يعني أننا لن نحتاج إلى حل المعادلة في كل خطوة.

لنأخذ نظرة على بعض الأمثلة:

• $f(x)$ يحول $x$ إلى $\frac{x + 6}{x}$.
• $f(f(x))$ يحول $x$ إلى $f\left(\frac{x + 6}{x}\right) = \frac{\frac{x + 6}{x} + 6}{\frac{x + 6}{x}} = \frac{7x + 6}{x + 6}$.
• $f(f(f(x)))$ يحول $x$ إلى $f\left(\frac{7x + 6}{x + 6}\right)$.

نلاحظ أن الدوال المتكررة تحول التعبير نفسه إلى تعبير جديد يحتوي على دالة $f(x)$. هذا يشير إلى أنه إذا كان لدينا سلسلة متتالية من الدوال $f(x)$، فإنها ستتطور بشكل متسارع و

لنواصل حل المسألة ونوضح المزيد من التفاصيل والقوانين المستخدمة في الحل.

نريد أن نجد القيم التي تحقق المعادلة $f_n(x) = x$ لبعض العدد الصحيح الإيجابي $n$. نلاحظ أن عملية التكرار في الدوال $f_n(x)$ تؤدي إلى تعقيد متزايد في الحسابات. ومع ذلك، يمكننا استخدام بعض القوانين والملاحظات لتبسيط العملية.

لنبدأ بالملاحظة الأولى:
عندما نقوم بتطبيق الدالة $f(x)$ على $x$، فإننا نحصل على:
$f(x) = \frac{x + 6}{x}.$
وبما أننا نريد العثور على القيم التي تحقق $f_n(x) = x$، فإننا نبحث عن النقاط التي تظل ثابتة تحت التكرار. وهنا تأتي المهمة الأساسية لحل المعادلة:
$f(x) = x.$
هذه المعادلة تعني أننا نبحث عن النقاط التي تحقق التساوي:
$\frac{x + 6}{x} = x.$
الآن، يمكننا حل هذه المعادلة للعثور على النقاط التي تحقق الشرط.

لحل هذه المعادلة، نقوم بتوحيد المقامين:
$x^2 = x + 6.$
وبعد تجميع المصطلحات، نحصل على المعادلة ذات الدرجة الثانية:
$x^2 – x – 6 = 0.$
يمكننا حل هذه المعادلة باستخدام العوامل أو الصيغة العامة لجذر المعادلة الثانية.

بعد حساب الجذور، سنحصل على قيم محتملة للـ $x$ التي تجعل المعادلة $f(x) = x$ صحيحة.

الآن، بمجرد حلنا للمعادلة $f(x) = x$، نستطيع استخدام الحل لتحديد القيم التي تحقق الشرط للتكرارات اللاحقة $f_2(x)$، $f_3(x)$، وهكذا. نقوم بإدخال الحل في الدوال المتتالية للتحقق مما إذا كان يستمر في تحقيق الشرط أم لا.

باستخدام هذه العملية، يمكننا تحديد العدد النهائي للعناصر في مجموعة $S$، والتي تحقق $f_n(x) = x$ لبعض العدد الصحيح الإيجابي $n$.

باختصار، الحل يعتمد على استخدام قوانين حل المعادلات الجبرية، مثل قوانين حساب الجذور والعوامل، بالإضافة إلى فهم تطبيق الدوال المتكررة والتحقق مما إذا كانت القيم تحقق الشرط أم لا في كل تكرار.