حل المعادلات التربيعية بتحليل القيم المطلقة (مسألة رياضيات)

المعادلة التي يجب حلها هي $(x – 5x + 12)^2 + 1 = -|x|$
لنقم بفحص عدد الحلول الحقيقية للمتغير x في هذه المعادلة.

للقيام بذلك، يجب أولاً فحص المحتوى داخل القوسين وحساب قيمته. في هذه الحالة، لدينا $(x – 5x + 12)$، ويمكن تبسيطها إلى $( -4x + 12)$.

الآن نعيد كتابة المعادلة بعد التبسيط:
$( -4x + 12)^2 + 1 = -|x|$

نقوم بحساب التربيع في القوس:
$(-4x + 12)(-4x + 12) + 1 = -|x|$
$16x^2 – 96x + 145 = -|x|$

المعادلة الناتجة هي $16x^2 – 96x + 145 = -|x|$.

الخطوة التالية هي تحديد عدد الحلول الحقيقية لهذه المعادلة. قد نستخدم الرسم البياني لفهم السلوك المتوقع للدالة، ولكن يمكننا أيضًا محاولة تحليل المعادلة.

لاحظ أن يسار المعادلة هو دالة منتظمة وإيجابية، في حين أن الجهة اليمنى تحتوي على مصطلح سالب |x|. بما أن الجهتين تحتويان على مصطلح سالب وإيجابي على التوالي، فإن تواجد أي حل حقيقي سيكون غير ممكن.

بالتالي، المعادلة لا تحتوي على حلول حقيقية.

لنقم بفحص المعادلة $(x – 5x + 12)^2 + 1 = -|x|$ بمزيد من التفصيل ونوضح القوانين المستخدمة في الحل.

أولاً، نقوم بحساب قيمة التعبير داخل القوسين. لدينا $(x – 5x + 12)$، ويمكن تبسيطها إلى $( -4x + 12)$.

الآن نقوم بإعادة كتابة المعادلة بعد التبسيط:
$( -4x + 12)^2 + 1 = -|x|$

نقوم بحساب التربيع في القوس:
$(-4x + 12)(-4x + 12) + 1 = -|x|$
$16x^2 – 96x + 145 = -|x|$

هنا نستخدم قانون الضرب لتوسيع التربيع.

المعادلة الناتجة هي $16x^2 – 96x + 145 = -|x|$.

الآن، نقوم بتحليل الجهتين اليمنى واليسرى من المعادلة. الجهة اليمنى هي مصطلح ثابت 145، في حين أن الجهة اليسرى تحتوي على مصطلح $-|x|$.

نستخدم قانون القيم المطلقة لتحديد مصطلح $-|x|$، وهو أن $|x| = x$ إذا كان $x$ إيجابيًا و $|x| = -x$ إذا كان $x$ سالبًا.

بناءً على هذا القانون، نقوم بتفكيك المصطلح $-|x|$ إلى حالتين:

1. إذا كان $x$ إيجابيًا، فإن $-|x| = -x$.
2. إذا كان $x$ سالبًا، فإن $-|x| = x$.

الآن، نقوم بإعادة كتابة المعادلة بناءً على هذه الحالتين:

1. إذا كان $x$ إيجابيًا:
   $16x^2 – 96x + 145 = -x$

2. إذا كان $x$ سالبًا:
   $16x^2 – 96x + 145 = x$

نقوم بحل هذين المعادلتين للعثور على الحلول. لكن بناءً على التحليل السابق، لا يوجد حل حقيقي للمعادلة، لأنه لا يمكن تحقيق تطابق بين الجهتين.

قد يتم استخدام قوانين الجبر، وخاصة قوانين التربيع والقيم المطلقة في هذا الحل.