مسائل رياضيات

حل المسائل: تقاطع خطوط في المستوى الإحداثي

اخر تحديث 29/11/2023
0

في المستوى الإحداثي، تمتلك الخط أ ميلًا قيمته -2 ونقطة تقاطع على المحور السيني (x) تكون في النقطة (2، 0). بينما يتمتع الخط بميل قيمته 5 ونقطة تقاطع على المحور الصادي (y) تكون في النقطة (0، -10). إذا كان الخطان يتقاطعان في النقطة (أ، ب)، فما هو مجموع أ و ب؟

لحساب قيمة x للنقطة التي يتقاطع فيها الخطان، يمكننا استخدام تساوي الميلين مع النقطتين. للخط أ، الميل هو -2، ونقطة التقاطع هي (2، 0). للخط ب، الميل هو 5، ونقطة التقاطع هي (0، -10). لنجد x:

مواضيع ذات صلة
−2=0−b2−a-2 = \frac{{0 – b}}{{2 – a}}
5=−10−b0−a5 = \frac{{-10 – b}}{{0 – a}}

بعد حساب هذه المعادلتين، يمكننا العثور على قيمة x، وبالتالي النقطة (أ، ب). بعد ذلك، يمكننا جمع قيمة أ + ب.

الحل:
نبدأ بحساب قيمة x عند نقاط التقاطع:

−2=0−b2−a  ⟹  2−a=b2  ⟹  a=2−b2  ⟹  a=2−b2-2 = \frac{{0 – b}}{{2 – a}} \implies 2 – a = \frac{b}{2} \implies a = 2 – \frac{b}{2} \implies a = 2 – \frac{b}{2}
5=−10−b0−a  ⟹  −5a=−10−b  ⟹  a=2+b55 = \frac{{-10 – b}}{{0 – a}} \implies -5a = -10 – b \implies a = 2 + \frac{b}{5}

الآن، نضع القيمتين المتساويتين لـ a معًا:

2−b2=2+b5  ⟹  5(2−b2)=2+b5×5  ⟹  10−5b=2+b  ⟹  6b=8  ⟹  b=432 – \frac{b}{2} = 2 + \frac{b}{5} \implies 5(2 – \frac{b}{2}) = 2 + \frac{b}{5} \times 5 \implies 10 – 5b = 2 + b \implies 6b = 8 \implies b = \frac{4}{3}

الآن، نستخدم هذه القيمة في أحد المعادلات الأصلية لحساب a:

−2=0−432−a  ⟹  −2(2−a)=43  ⟹  −4+2a=43  ⟹  2a=163  ⟹  a=83-2 = \frac{{0 – \frac{4}{3}}}{{2 – a}} \implies -2(2 – a) = \frac{4}{3} \implies -4 + 2a = \frac{4}{3} \implies 2a = \frac{16}{3} \implies a = \frac{8}{3}

أخيرًا، نجمع قيمة أ + ب:

83+43=123=4\frac{8}{3} + \frac{4}{3} = \frac{12}{3} = 4

إذا كانت الإجابة هي 4.

المزيد من المعلومات

لنقم بحل المسألة بشكل أكثر تفصيلاً ولنتناول القوانين المستخدمة في الحل.

أولاً، لنفهم الوضع بشكل أفضل:

  • للخط aa، الميل هو -2 والنقطة التي يتقاطع فيها مع محور xx هي (2، 0).
  • للخط bb، الميل هو 5 والنقطة التي يتقاطع فيها مع محور yy هي (0، -10).
  • الهدف هو العثور على نقطة التقاطع الثانية (أ، ب) للخطين وحساب الجمع أ+بأ + ب.

القوانين المستخدمة:

  1. معادلة الميل-التقاطع:
    يُمثل الميل-التقاطع المعادلة العامة لخط بصيغة y=mx+by = mx + b، حيث mm هو الميل و bb هو نقطة التقاطع مع محور yy.

  2. تكافؤ الميلين عند التقاطع:
    عندما يتقاطع خطان في نقطة واحدة، فإن الميلين متساويين. يمكن استخدام هذا القانون لحساب القيم المفقودة.

الحل بالتفصيل:
للخط aa، المعادلة تكون y=−2x+by = -2x + b، ونستخدم نقطة التقاطع (2، 0) لحساب bb:
0=−2(2)+b  ⟹  b=40 = -2(2) + b \implies b = 4

للخط bb، المعادلة تكون y=5x−10y = 5x – 10، ونستخدم نقطة التقاطع (0، -10) لحساب aa:
−10=5(0)−10  ⟹  a=−10-10 = 5(0) – 10 \implies a = -10

الآن، نحسب قيمة أ+بأ + ب:
أ+ب=(−10)+4=−6أ + ب = (-10) + 4 = -6

إذاً، أ+ب=−6أ + ب = -6.

هذا الحل يعتمد على قوانين الميل-التقاطع وتكافؤ الميلين عند التقاطع، حيث يتم استخدام هذه القوانين لتحديد معادلات الخطوط وحساب القيم المجهولة.

اخر تحديث 29/11/2023
0