نريد أن نجد قيم الأعداد A و B في المسألة التالية:
x2−7x−305x+2=x−10A+x+3B
لحل هذه المعادلة، سنقوم بضرب الجهتين من الاعتبار في المعادلة ب $(x-10)(x+3)$ للتخلص من المقامات في الكسور:
(x−10)(x+3)×x2−7x−305x+2=(x−10)(x+3)×(x−10A+x+3B)
بعد الضرب، يتبسط العمل كما يلي:
5x+2=A(x+3)+B(x−10)
الآن، سنقوم بتوزيع العبارة وتجميع المتغيرات:
5x+2=Ax+3A+Bx−10B
نجمع المتغيرات المماثلة:
5x+2=(A+B)x+(3A−10B)
والآن نقارن بين معاملات الطرفين:
A+B=5
3A−10B=2
لدينا نظام معادلات يحتوي على متغيرين، يمكن حله باستخدام أي طريقة من طرق حل النظم الخطية، ومن الواضح أنه من المناسب استخدام الاستبدال لحل النظام.
لنحل المعادلات:
من المعادلة الأولى:
B=5−A
ونستخدم هذا الحل في المعادلة الثانية:
3A−10(5−A)=2
3A−50+10A=2
13A−50=2
13A=52
A=4
وبعد ذلك نستخدم قيمة A لحساب قيمة B:
B=5−A=5−4=1
إذاً، القيم المطلوبة لـ A و B هي (4, 1).
المزيد من المعلومات
لحل المسألة الرياضية التي تتعلق بتقسيم الكسور الجزئية، نحتاج إلى فهم القوانين والطرق المستخدمة في حل مثل هذه المسائل.
-
تقسيم الكسور الجزئية (Partial Fraction Decomposition):
عندما نواجه كسرًا عقديًا (يحتوي على كسور في البسط والمقام)، ونريد تقسيمه إلى كسور جزئية، نحتاج إلى إيجاد قيم مجهولة (مثل A و B في هذه المسألة) لجعل الكسر الأصلي متساويًا لمجموع الكسور الجزئية. -
ضرب الكسور للتخلص من المقامات (Clearing Denominators):
في هذه المسألة، قمنا بضرب كلا الجانبين من المعادلة بالمقام المشترك للكسور الجزئية، وهو $(x-10)(x+3)$، للتخلص من المقامات في الكسور وتبسيط المعادلة. -
مقارنة المعاملات (Coefficient Comparison):
بعد الضرب والتبسيط، نقوم بمقارنة معاملات الأعداد المجهولة (A و B) في الكسور الجزئية من الجهتين للمعادلة الأصلية. -
حل النظام الخطي (Solving Linear System):
بعد المقارنة، نحصل على نظام من المعادلات الخطية. يمكن حل هذا النظام باستخدام أي طريقة ملائمة مثل الاستبدال أو الإضافة أو الخطوات المصغرة. -
استخدام قوانين الجبر والحساب:
في هذا الحل، استخدمنا قوانين الجبر والحساب البسيطة مثل توزيع العبارات وجمع المتغيرات المماثلة لحل المعادلات.
باستخدام هذه الخطوات والقوانين، نستطيع حل المسألة بدقة وتحديد القيم الصحيحة للمتغيرات المجهولة A و B.