مسائل رياضيات

حل المسائل بتقسيم الكسور الجزئية (مسألة رياضيات)

نريد أن نجد قيم الأعداد A و B في المسألة التالية:

5x+2x27x30=Ax10+Bx+3\frac{5x+2}{x^2-7x-30}=\frac{A}{x-10}+\frac{B}{x+3}

لحل هذه المعادلة، سنقوم بضرب الجهتين من الاعتبار في المعادلة ب $(x-10)(x+3)$ للتخلص من المقامات في الكسور:

(x10)(x+3)×5x+2x27x30=(x10)(x+3)×(Ax10+Bx+3)(x-10)(x+3) \times \frac{5x+2}{x^2-7x-30} = (x-10)(x+3) \times \left( \frac{A}{x-10}+\frac{B}{x+3} \right)

بعد الضرب، يتبسط العمل كما يلي:

5x+2=A(x+3)+B(x10)5x+2 = A(x+3) + B(x-10)

الآن، سنقوم بتوزيع العبارة وتجميع المتغيرات:

5x+2=Ax+3A+Bx10B5x+2 = Ax + 3A + Bx – 10B

نجمع المتغيرات المماثلة:

5x+2=(A+B)x+(3A10B)5x + 2 = (A + B)x + (3A – 10B)

والآن نقارن بين معاملات الطرفين:

A+B=5A + B = 5
3A10B=23A – 10B = 2

لدينا نظام معادلات يحتوي على متغيرين، يمكن حله باستخدام أي طريقة من طرق حل النظم الخطية، ومن الواضح أنه من المناسب استخدام الاستبدال لحل النظام.

لنحل المعادلات:

من المعادلة الأولى:
B=5AB = 5 – A

ونستخدم هذا الحل في المعادلة الثانية:

3A10(5A)=23A – 10(5 – A) = 2
3A50+10A=23A – 50 + 10A = 2
13A50=213A – 50 = 2
13A=5213A = 52
A=4A = 4

وبعد ذلك نستخدم قيمة A لحساب قيمة B:

B=5A=54=1B = 5 – A = 5 – 4 = 1

إذاً، القيم المطلوبة لـ A و B هي (4, 1).

المزيد من المعلومات

لحل المسألة الرياضية التي تتعلق بتقسيم الكسور الجزئية، نحتاج إلى فهم القوانين والطرق المستخدمة في حل مثل هذه المسائل.

  1. تقسيم الكسور الجزئية (Partial Fraction Decomposition):
    عندما نواجه كسرًا عقديًا (يحتوي على كسور في البسط والمقام)، ونريد تقسيمه إلى كسور جزئية، نحتاج إلى إيجاد قيم مجهولة (مثل A و B في هذه المسألة) لجعل الكسر الأصلي متساويًا لمجموع الكسور الجزئية.

  2. ضرب الكسور للتخلص من المقامات (Clearing Denominators):
    في هذه المسألة، قمنا بضرب كلا الجانبين من المعادلة بالمقام المشترك للكسور الجزئية، وهو $(x-10)(x+3)$، للتخلص من المقامات في الكسور وتبسيط المعادلة.

  3. مقارنة المعاملات (Coefficient Comparison):
    بعد الضرب والتبسيط، نقوم بمقارنة معاملات الأعداد المجهولة (A و B) في الكسور الجزئية من الجهتين للمعادلة الأصلية.

  4. حل النظام الخطي (Solving Linear System):
    بعد المقارنة، نحصل على نظام من المعادلات الخطية. يمكن حل هذا النظام باستخدام أي طريقة ملائمة مثل الاستبدال أو الإضافة أو الخطوات المصغرة.

  5. استخدام قوانين الجبر والحساب:
    في هذا الحل، استخدمنا قوانين الجبر والحساب البسيطة مثل توزيع العبارات وجمع المتغيرات المماثلة لحل المعادلات.

باستخدام هذه الخطوات والقوانين، نستطيع حل المسألة بدقة وتحديد القيم الصحيحة للمتغيرات المجهولة A و B.