حل المسائل باستخدام إسقاطات الفضاء الفرعي. (مسألة رياضيات)

نفترض أن $\mathbf{v}_0$ هو الناتج النهائي للتصور. الخطوات التالية توضح كيفية الحصول على $\mathbf{v}_2$ من $\mathbf{v}_0$:

1. يتم استخدام الإسقاط للحصول على $\mathbf{v}_1$ من $\mathbf{v}_0$ باستخدام الصيغة:
   $\mathbf{v}_1 = \frac{\mathbf{v}_0 \cdot \mathbf{u}}{\|\mathbf{u}\|^2} \cdot \mathbf{u}$
   حيث $\mathbf{u} = \begin{pmatrix} 3 \ 1 \end{pmatrix}$ هو الاتجاه الذي يتم الإسقاط عليه.

   مواضيع ذات صلة

   • 
     حساب عدد الطلاب في حفل الرقص (مسألة رياضيات)
   • 
     حساب السمسرة في بيع الأسهم
   • 
     عدد الأقلام المباعة في تخفيض (مسألة رياضيات)
   • 
     تكلفة تعلم البيانو: حساب النفقات (مسألة رياضيات)
   • 
     حل مسألة: مقارنة أجور العمل (مسألة رياضيات)
   • 
     حلا لمعادلات الجبر الثنائية المتشابهة (مسألة رياضيات)

2. ثم يتم استخدام الإسقاط مرة أخرى للحصول على $\mathbf{v}_2$ من $\mathbf{v}_1$ باستخدام الصيغة:
   $\mathbf{v}_2 = \frac{\mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{w}}{\|\mathbf{w}\|^2} \cdot \mathbf{w}$
   حيث $\mathbf{w} = \begin{pmatrix} X \ 1 \end{pmatrix}$ هو الاتجاه الذي يتم الإسقاط عليه.

لحساب القيمة المجهولة $X$، يمكننا مطابقة مكونات $\mathbf{v}_2$ مع $\mathbf{v}_1$:

لدينا:
$\mathbf{v}_1 = \frac{\mathbf{v}_0 \cdot \mathbf{u}}{\|\mathbf{u}\|^2} \cdot \mathbf{u}$
$\mathbf{v}_2 = \frac{\mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{w}}{\|\mathbf{w}\|^2} \cdot \mathbf{w}$

الآن نقارن المكونات المطابقة. يعني هذا أن:
$\frac{\mathbf{v}_0 \cdot \mathbf{u}}{\|\mathbf{u}\|^2} = \frac{\mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{w}}{\|\mathbf{w}\|^2}$
$\frac{\mathbf{v}_0 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}}{\|\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}\|^2} = \frac{\mathbf{v}_1 \cdot \begin{pmatrix} X \\ 1 \end{pmatrix}}{\|\begin{pmatrix} X \\ 1 \end{pmatrix}\|^2}$

نستخدم قواعد الجمع والضرب الداخلي لحساب القيم:

$\frac{3v_{0x} + v_{0y}}{3^2 + 1^2} = \frac{Xv_{1x} + v_{1y}}{X^2 + 1^2}$

حيث $v_{0x}$ و $v_{0y}$ هما المكونات ال $x$ و $y$ للمتجه $\mathbf{v}0$ على التوالي، و $v{1x}$ و $v_{1y}$ هما المكونات ال $x$ و $y$ للمتجه $\mathbf{v}_1$.

الآن يمكننا حساب قيمة $X$.

لحل المسألة، سنستخدم قوانين الإسقاط والجمع والضرب الداخلي للمتجهات. هذه القوانين تأتي من الجبر الخطي والهندسة الفضائية وتستخدم لحساب الإسقاطات والتحويلات بين المساحات الفضائية.

القوانين المستخدمة:

1. إسقاط الفضاء الفرعي: يتيح لنا حساب الإسقاطات من فضاء إلى فضاء فرعي عن طريق جمع وضرب المتجهات.
2. الجمع والضرب الداخلي للمتجهات: يستخدم لحساب التلاقي بين متجهين وتحديد العلاقات الرياضية بينهما.

الآن، لحساب قيمة $X$، نستخدم القوانين التالية:

1. إسقاط الفضاء الفرعي: يتيح لنا حساب الإسقاطات من $\mathbf{v}_0$ إلى $\mathbf{v}_1$ ومن $\mathbf{v}_1$ إلى $\mathbf{v}_2$.
2. الجمع والضرب الداخلي للمتجهات: يُستخدم لحساب العلاقة بين المتجهات وحساب الإسقاطات.

للحصول على قيمة $X$، نستخدم العلاقة التالية:

$\frac{3v_{0x} + v_{0y}}{3^2 + 1^2} = \frac{Xv_{1x} + v_{1y}}{X^2 + 1^2}$

حيث:

• $v_{0x}$ و $v_{0y}$ هما المكونات ال $x$ و $y$ لمتجه $\mathbf{v}_0$.
• $v_{1x}$ و $v_{1y}$ هما المكونات ال $x$ و $y$ لمتجه $\mathbf{v}_1$.
• العدد 3 و 1 هما المكونات ال $x$ و $y$ للمتجه $\begin{pmatrix} 3 \ 1 \end{pmatrix}$.
• العدد $X$ هو المكون ال $x$ لمتجه $\begin{pmatrix} X \ 1 \end{pmatrix}$.

بعد حساب العلاقة وتوظيفها، يمكننا حلها للحصول على قيمة $X$. هذه العملية توضح كيف يمكننا استخدام الرياضيات لتحليل وحل مشكلة في الفضاء الرياضي.