حل المسائل: العلاقة العكسية المتناسبة (مسألة رياضيات)

عندما نقول أن $\alpha$ عكسيا متناسبة لـ $\beta$، فإننا نقصد أن حاصل ضرب القيمتين متساوٍ دائمًا. بمعنى آخر، إذا زادت قيمة أحدهما، فإن القيمة الأخرى ستنخفض بنفس النسبة والعكس صحيح. لنقم بترتيب هذه المعلومات في علاقة رياضية:

الآن، نعرف أن عندما $\alpha = -3$، و $\beta = -6$، فإن $\alpha \times \beta = (-3) \times (-6) = 18$. وهذا يعني أننا نملك العلاقة التالية:

الآن، نحتاج إلى حساب قيمة $\alpha$ عندما تكون $\beta = 8$. نستخدم العلاقة التي حصلنا عليها:

لحل هذه المعادلة، نقسم الطرفين على 8:

لذلك، عندما تكون قيمة $\beta$ تساوي 8، فإن قيمة $\alpha$ تساوي $\frac{9}{4}$.

لحل المسألة التي تتعلق بالعكسية المتناسبة، نستخدم القانون الأساسي للعكسية المتناسبة الذي ينص على أن حاصل ضرب القيمتين المتناسبتين يتبقى ثابتًا. وبناءً على ذلك، يمكننا كتابة العلاقة بين $\alpha$ و $\beta$ على النحو التالي:

حيث أن الثابت هو ناتج ضرب $\alpha$ و $\beta$ عندما تكون العلاقة متناسبة.

في المسألة المعطاة، يُعطى أن $\alpha = -3$ عندما $\beta = -6$. لذا، يمكننا استخدام هذه القيم لحساب الثابت. نحسب الثابت عن طريق ضرب قيمتي $\alpha$ و $\beta$ المعطاة:

وبهذا نعرف أن الثابت يساوي 18.

الآن، وبعد أن حصلنا على الثابت، نستخدمه لحساب قيمة $\alpha$ عندما تكون $\beta = 8$. نستخدم نفس العلاقة:

ونعوض فيها $\beta$ بقيمتها الجديدة ونحسب $\alpha$:

لحل المعادلة، نقوم بقسم كل طرف على 8:

وهكذا، وجدنا أن $\alpha = \frac{9}{4}$ عندما تكون $\beta = 8$. استخدمنا قوانين العكسية المتناسبة وخوارزمية الضرب والقسمة لحل المسألة.