حل المسائل الخطية بالجبر. (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:

نبحث عن الزوج المرتب $(j,k)$ الذي يرضي المعادلات التالية:

$5j – 42k = 1$

$2k – j = 3$

حل المسألة:

لحل هذه المعادلات، سنقوم بتطبيق الطرق المناسبة للعثور على قيم $(j,k)$ التي تحقق كل من المعادلات.

للبداية، سنقوم بحل المعادلة الثانية للحصول على قيمة $j$ بالتبديل والإبدال. نقوم بتعويض قيمة $j$ من المعادلة الثانية في المعادلة الأولى:

$5(2k – 3) – 42k = 1$

الآن سنقوم بفتح الأقواس وحل المعادلة:

$10k – 15 – 42k = 1$

نجمع معاملات $k$ معًا:

$-32k – 15 = 1$

ثم نضيف 15 للطرفين:

$-32k = 16$

ثم نقسم على -32 للحصول على قيمة $k$:

$k = -\frac{16}{32} = -\frac{1}{2}$

الآن، بعد أن حصلنا على قيمة $k$، سنستخدمها لحساب قيمة $j$ باستخدام المعادلة الثانية:

$2(-\frac{1}{2}) – j = 3$

$-1 – j = 3$

نطرح 1 من الطرفين:

$-j = 3 + 1$

$-j = 4$

نضرب في -1 للتخلص من السالب:

$j = -4$

إذاً، الزوج المرتب $(j,k)$ الذي يرضي المعادلات هو:

$(j,k) = (-4, -\frac{1}{2})$

لحل المسألة المعطاة، نحتاج إلى استخدام مجموعة من القوانين والمفاهيم الرياضية. سنقوم بتحليل المعادلات وحلها بالتفصيل مع استخدام هذه القوانين:

1. قانون الإبدال (Substitution Rule):
   هذا القانون يتيح لنا استبدال قيمة متغير معروفة في معادلة أخرى تحتوي على نفس المتغير. يسمح لنا هذا القانون بتبسيط عملية حل المعادلات الخطية.

2. طريقة الإقصاء (Elimination Method):
   هذه الطريقة تستخدم لحل نظام من المعادلات الخطية عن طريق إلغاء إحدى المتغيرات. يتم ذلك عن طريق جمع أو طرح مضاعفات من إحدى المعادلات لإلغاء متغير معين.

باستخدام هذه القوانين، سنقوم بحل المسألة خطوة بخطوة:

المعادلة الأولى:
$5j – 42k = 1$

المعادلة الثانية:
$2k – j = 3$

نبدأ بحل المعادلة الثانية للحصول على قيمة $j$، ثم سنستخدم قيمة $j$ هذه في المعادلة الأولى.

1. حل المعادلة الثانية:
   نقوم بتحويل المعادلة الثانية للحصول على قيمة $j$:
   $2k – j = 3$
   $j = 2k – 3$

2. استخدام قيمة $j$ في المعادلة الأولى:
   نقوم بتعويض قيمة $j$ في المعادلة الأولى:
   $5(2k – 3) – 42k = 1$

3. حل المعادلة الناتجة:
   نقوم بحل المعادلة التي حصلنا عليها بتطبيق خطوات الجمع والطرح:
   $10k – 15 – 42k = 1$
   $-32k – 15 = 1$
   $-32k = 1 + 15$
   $-32k = 16$
   $k = \frac{-16}{32}$
   $k = -\frac{1}{2}$

4. استخدام قيمة $k$ لحساب $j$:
   نستخدم قيمة $k$ التي حصلنا عليها لحساب قيمة $j$:
   $j = 2(-\frac{1}{2}) – 3$
   $j = -1 – 3$
   $j = -4$

بالتالي، الزوج المرتب $(j,k)$ الذي يرضي المعادلات هو:
$(j,k) = (-4, -\frac{1}{2})$

تمثل هذه الخطوات العملية التي نستخدمها في حل المسائل الرياضية الخطية باستخدام قوانين الجبر والحساب.