حل المسائل الحسابية: الأعداد والمعادلات (مسألة رياضيات)

نريد أن نجد جميع الأعداد الحقيقية $a$ التي تحقق المتباينة التالية: $|x^2 + 2ax + 3a| \leq 2$ وتحتوي على حلا واحداً فقط للمتغير $x$.

للبداية، لنلاحظ أن المتباينة $|x^2 + 2ax + 3a| \leq 2$ تعني أن التعبير $x^2 + 2ax + 3a$ يمكن أن يأخذ قيمًا تقع ضمن النطاق $[-2, 2]$.

سنقوم بدراسة الحالات التالية:

1. عندما يكون $x^2 + 2ax + 3a \geq 0$.
2. عندما يكون $x^2 + 2ax + 3a \leq 0$.

لحل المتباينة في كل حالة، سنستخدم معادلة الجذر المربعي $b^2 – 4ac$ لحالة الوجود للجذر الواحد.

الحالة الأولى: $x^2 + 2ax + 3a \geq 0$

في هذه الحالة، نجد أن $|x^2 + 2ax + 3a| = x^2 + 2ax + 3a$.

إذاً، المتباينة تصبح:
$x^2 + 2ax + 3a \leq 2$

لحل هذه المتباينة، نحتاج لمعرفة الحدود العليا والسفلية للتعبير $x^2 + 2ax + 3a$ عندما يكون مساويا للصفر.

للعثور على الحدود، نقوم بحساب المشتقة الأولى للتعبير:
$f(x) = x^2 + 2ax + 3a$
$f'(x) = 2x + 2a$

ونحسب القيمة التي تجعل المشتقة تساوي الصفر:
$2x + 2a = 0$
$x = -a$

نقوم بتعويض قيمة $x = -a$ في التعبير للحصول على الحدود:
$(-a)^2 + 2a(-a) + 3a = a^2 – 2a^2 + 3a = 3a – a^2$

لذا، المتباينة تصبح:
$3a – a^2 \leq 2$
$a^2 – 3a + 2 \geq 0$
$(a – 1)(a – 2) \geq 0$

هنا نحصل على أن $a \leq 1$ أو $a \geq 2$.

الحالة الثانية: $x^2 + 2ax + 3a \leq 0$

في هذه الحالة، نجد أن $|x^2 + 2ax + 3a| = -(x^2 + 2ax + 3a)$.

إذاً، المتباينة تصبح:
$-(x^2 + 2ax + 3a) \leq 2$
$x^2 + 2ax + 3a \geq -2$

لحل هذه المتباينة، نحتاج لحساب الحدود العليا والسفلية للتعبير $x^2 + 2ax + 3a$ عندما يكون مساوياً للصفر، ونقوم بنفس الخطوات التي قمنا بها في الحالة الأولى.

الحدود تكون:
$3a – a^2 \geq -2$
$a^2 – 3a – 2 \leq 0$
$(a – 1)(a – 2) \leq 0$

وهنا، نحصل على أن $1 \leq a \leq 2$.

النتيجة النهائية:

بالجمع بين الحالتين، نجد أن الحل للمتباينة يكون عندما:
$a \leq 1 \quad \text{أو} \quad 1 \leq a \leq 2$

وبالتالي، الأعداد الحقيقية $a$ التي تحقق المتباينة وتحتوي على حلا واحداً هي $a \leq 1$ أو $1 \leq a \leq 2$.

لحل المسألة والتحقق من الأعداد الحقيقية $a$ التي تحقق المتباينة $|x^2 + 2ax + 3a| \leq 2$ وتحتوي على حلاً واحداً للمتغير $x$، سنقوم بتحليل مختلف الحالات واستخدام الخصائص الرياضية التالية:

1. خصائص القيم المطلقة: يعتبر أحد الأساسيات في حل هذا النوع من المعادلات والمتباينات، حيث أن $|x| \leq a$ تعني أن $-a \leq x \leq a$.
2. قاعدة حساب الجذر التربيعي: نستخدمها للتحقق مما إذا كان لدينا جذر واحد أم لا من معادلة من الدرجة الثانية.
3. المعادلة الثانية: نستخدمها لحساب الجذور لمعادلة من الدرجة الثانية $ax^2 + bx + c = 0$، حيث يتم تطبيق $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$.
4. خصائص المشتقة الأولى والحدود: نستخدم المشتقة الأولى للتحقق من الحد الأقصى والحد الأدنى لتعبير معين.

الخطوات لحل المسألة:

1. الحالة الأولى: $x^2 + 2ax + 3a \geq 0$:
   نفترض أن المعادلة $x^2 + 2ax + 3a$ لها جذر واحد فقط. يعني هذا أن الإشارة للتعبير $x^2 + 2ax + 3a$ هي نفسها الإشارة لقيمته.

   نقوم بحل المعادلة $x^2 + 2ax + 3a = 2$ للعثور على الحد الأعلى، ونحل المعادلة $x^2 + 2ax + 3a = -2$ للعثور على الحد الأدنى.

2. الحالة الثانية: $x^2 + 2ax + 3a \leq 0$:
   في هذه الحالة، نفترض أيضًا وجود جذر واحد. وبالتالي، نقوم بحل المعادلتين $x^2 + 2ax + 3a = 2$ و $x^2 + 2ax + 3a = -2$ للعثور على الحد الأعلى والحد الأدنى على التوالي.

3. التحقق من الحلول: بمجرد أن نعرف الحدود، نقوم بفحص القيم الممكنة لـ $a$ بناءً على الشروط التي وضعناها.

القوانين المستخدمة:

• قانون الجذور: نستخدمه لحساب الجذور للمعادلات من الدرجة الثانية.
• قواعد الجبر والمعادلات: نستخدمها لتحليل المعادلات والمتباينات وتطبيق العمليات الجبرية عليها.
• قواعد الأعداد الحقيقية: نستخدم خصائص الأعداد الحقيقية للتحقق من الحلول الممكنة وتحديد النطاقات المناسبة للمتباينات.

الخطوات بالتفصيل:

1. نقوم بحل المعادلة $x^2 + 2ax + 3a = 2$ و $x^2 + 2ax + 3a = -2$ في كلا الحالتين.
2. نستخدم قوانين الجبر لتحويل المعادلات إلى صيغة قابلة للحل.
3. نستخدم قاعدة حساب الجذر التربيعي للتحقق مما إذا كان لدينا جذر واحد أو أكثر.
4. نقوم بتحديد النطاقات المسموح بها لـ $a$ بناءً على الحلول التي تحصلنا عليها في الخطوات السابقة.
5. نقوم بالتحقق من الشروط المعطاة في السؤال ونقيم ما إذا كانت الأعداد المحسوبة تحققها أم لا.

باختصار، هذه القوانين والخطوات تساعدنا في تحديد الحلول الممكنة للمعادلات والمتباينات الرياضية وضمان تحقيق الشروط المطلوبة في السؤال.